Problemas planteados en diversas olimpiadas en el mundo

1. Las localidades P1, ..., P1983 son atendidas por diez aerolineas internacionales A1, ..., A10. Se hace notar que hay un servicio directo (sin paradas) entre dos localidades cualquiera y todos los horarios son en ambos sentidos. Pruebe que por lo menos una de las aerolineas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de paradas.

2. Sea n un entero positivo. Sea s (n) la suma los divisores naturales de d de n (incluyendo 1 y n). Decimos que un entero m ³ 1 es "superabundante" si " k Î {1, 2, ..., m-1}:

[s (m)]/m > [s (k)]/k
Pruebe que existe un infinito número de numeros "superabundantes".

3. Se dice que un conjunto E de puntos del plano euclidiano es "pitagoriano" si para cualquiera partición de E en dos sub conjuntos A y B, por lo menos uno de los conjuntos contiene el vértice del triángulo rectángulo. Decida si los siguientes conjuntos son o no "pitagorianos".

(a) Un círculo.

(b) Un triángulo equilátero (que es un conjunto de los tres vértices y los puntos de las aristas).

4.  En los lados de un triángulo ABC, se construyen un triángulo isósceles similar ABP (AP = PB), AQC (AQ = QC) y BRC (BR = RC). Los dos primeros son construídos externamente al triángulo ABC, pero el tercero esta situado en el mismo semiplano determinado por la línea BC como el triángulo ABC. Probar que APRQ es un paralelogramo.

5. Considerar el conjunto de todos estrictamente en secuencia decreciente de n números naturales teniendo la propiedad que en cada secuencia ningún término divide a otro de la secuencia. Sea A = (aj) y B = (bj) cualquiera de las dos secuencias.
Decimos que A precede a B si ak < bk y ai = bi para i < k. Encontrar los térmiinos de la primera secuencia del conjunto bajo este orden.

6. Suponga que {x1, x2, ..., xn} son enteros positivos para los cuales x1 + x2 + ... + xn = 2(n + 1). Mostrar que existe un entero r con 0 £ r £ n - 1 para lo cual el próximo n - 1 inigualdad se cumple:

xr+1 £ 3
xr+1 + xr+2 £ 5
....
xr+1 + xr+2 + ... + xn £ 2(n-r) + 1
....
xr+1 + xr+2 + ... + xn + x1 + ... + xi £ 2(n + i - r) + 1; (1 £ i < r - 1)
....
xr+1 + xr+2 + ... + xn + x1 + ...
+ xr-1 £ 2(n) - 1;

Probar que si todas las inegualdades son estrictas, r es única, y que de otra manera hay exactamente dos como r.

7. Sea un entero positivo y sea {an} definido por

a0 = 0
an+1 = (an + 1)a + (a + 1)an + 2.Sqrt [a(a + 1)an(an + 1)]; (n = 1, 2, ...)

Muestre que para cada entero positivo n, an es un entero positivo.

8. En una prueba participan 3n estudiantes que están situados en tres filas de n estudiantes cada una. Los estudiantes salen de la sala de prueba uno por uno. Si N1(t), N2(t), N3(t) denotan los números de estudiantes en la primera, secunda y tercera fila respectivamente en el tiempo t, encontrar la probabilidad que para cada t durante la prueba

|Ni(t) - Nj(t)| < 2, i ¹ j, i, j = 1, 2, ...

9. Sea p y q > 0 enteros. Mostrar que existe un intervalo I de longitud 1/q y un P con coeficientes enteros tales que:

|P(x) - p/q|<1/(q2)

para todo x en I.

10. Sea f : [0,1] ® R continuo y que satisface:

f (2x) = b.f (x); 0 £ x £ 1/2,
f (x) = b - (1 - b).f (2x - 1); 1/2 £ x £ 1,


donde b = (1 + c)/(2 + c), c > 0. Show that 0 < f(x) - x < c para cada x, 0 < x < 1.

11. Encontrar todas las funciones de f definidas en los números reales positivos y teniendo un valor real positivo, que satisfacen la condición:

 (i) f( xf(y)) = y. f(x) para todos los positivos reales x, y.

(ii) f(x) ® 0 as x ® +¥.

12. Sea E el conjunto de 19833 puntos en el espacio R3 cuyas tres coodinadas son enteros entre 0 y 1982 (incluidos 0 y 1982). Un color de E es un mapa de E al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántos colores de E hay, que satisfacen la siguiente propiedad: El número de vértices rojos entre los 8 vértices de cualquier paralelepípedo (cuyas aristas son 4 por 4 paralelos a los ejes) es un multiplo de 4.

13. Probar o no que: De un intervalo [1, 30000] uno puede seleccionar un conjunto de 1000 enteros conteniendo tripletes no aritméticos (tres números en una progresión aritmética).

14. Decidir si existe un conjunto M de números naturales que satisfacen la siguiente condición:

(a) Para cualquier número natural m > 1 hay a, b Î M de modo que a + b = m.

(b) Si a, b, c, d Î M; a, b, c, d < 10 y a + b = c + d, luego a = c o a = d.

15. Sea F(n) un conjunto de polinomios:

P(x) = a0 + a1x + ... + anxn


con a0, a1, ... ,an Î R y 0 £ a0 = an £ a1 = an-1 £ ... £ a[n/2] = a[(n + 1)/2].

Probar que si f Î F(m) y g Î F(n), luego f.g Î F(m + n).

16. Sea P1, P2, ..., Pn puntos distintos del plano, n ³ 2. Probar que

Donde PiPj es la distancia euclideana entre Pi and Pj.

17. Sea a, b, c enteros positivos que satisfacen (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1. Mostrar que 2abc - ab - bc - ca es el entero mas grande no representable como

xbc + yca + zab


con enteros no negativos x, y, z.

18. Sea (Fn)n ³ 1 la secuencia Fibonacci: F1 = F2 = 1; Fn+2 = Fn+1 + Fn, n ³ 1 y P(x) el polinomio de de grado 990, que verifica:

P (k) = Fk para k = 992, ..., 1982.


Probar que P (1983) = F1983 - 1.

19. Resolver el sistemas de ecuaciones:

x1.|x1| = x2.|x2| + (x1 - a).|x1 - a|
x2.|x2| = x3.|x3| + (x2 - a).|x2 - a|
....................................
xn.|xn| = x1.|x1| + (xn - a).|xn - a|


donde a > 0, en el conjunto de números reales.

20. Encontrar el entero mas grande menor o igual a S k(1/1983 - 1), donde la suma es tomada de k = 1 a k = 21983

21. Sea n un entero positivo que tiene al menos dos diferentes factores primos. Mostrar que existe una permutación a1, a2, ..., an de los enteros 1, 2, ..., n tales que:

S k.cos((2.p.ak)/n) = 0


donde la suma es tomada de k = 1 a k = n.

22. Si a, b y c son lados de un triángulo, probar que:

a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) ³ 0


y determine cuándo hay una igualdad.

23. Sea K una de los dos puntos de interseccion de los círculos W1 y W2. O1 y O2 son los centros de W1 y W2. Las dos tangentes comunes al círculo encuentran a W1 and W2 en P1 y P2 al primero, y Q1 y Q2 al segundo, respectivamente. Sea M1 y M2 los puntos medios de P1Q1 y P2Q2, respectivamente. Probar que Ð O1KO2 = Ð M1KM2

24. Sea dn el último dígito no nulo de la representación decimal de n!. Probar que dn es no periódica. En otras palabras, probar que no hay entero positivo T tal que:

" n ³ n0: dn+T = dn

25. Una secuencia de enteros es definida por

an = 2an-1 + an-2, (n>1), a0 = 0, a1 = 1.


Probar que 2k divide a an sí y sólo sí 2k divide a n.

26. Sea n un entero positivo. Encontrar el número de coeficientes impares del polinomio

un (x) = (x2 + x + 1)n.
27.  El triángulo ABC es inscrito en un círculo. Las bisectrices interiores de los ángulos A, B y C cortan el círculo nuevamente en los puntos A', B' y C', respectivamente. Probar que el área del triángulo A'B'C' es mayor o igual que el área del triángulo ABC

28. Un tablero de ajedrez de n x n (n ³ 2) es numerado por los números 1, 2, ..., n2 (todos los números aparecen en alguna casilla). Probar que exiten dos cuadrados vecinos (con un lado en común) tales que los números escritos en ellos difieren en al menos n.

29. Sea n un entero positivo par. Sean A1, A2, ..., An+1 conjuntos con n elementos cada uno, tales que cualesquiera dos de ellos tengan exactamente un elemento en común mientras que cada elemento de su unión pertenezca al menos a dos de los conjuntos dados. ¿Para qué valores de n puede uno asignar a cada elemento de la unión uno de los números 0 y 1 de tal manera que cada uno de los conjuntos tenga exactamente n/2 ceros?.

30. En un tetraedro ABCD dado, sean K y L los puntos medios de AB y CD, respectivamente. Probar que cada plano que contiene al segmento KL divide al tetraedro en dos partes de igual volumen.

31. Sea a la mayor raíz positiva de la ecuación x3 - 3x2 + 1 = 0. Probar que [a1788] y [a1988] son ambos divisibles por 17. ( [x] denota la parte entera de x).

32. Sean u1, u2, ..., um m vectores en el plano, cada uno de longitud £ 1, con suma igual a cero. Probar que uno puede reordenar u1, u2, ..., um como una secuencia v1, v2, ..., vm tal que cada suma parcial v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, ..., v1 + v2 + ... + vm tenga longitud menor o igual a Ö5.

33. Sean a y b dos enteros positivos tales que ab + 1 divide a a2 + b2. Probar que (a2 + b2)/(ab + 1) es un cuadrado perfecto.

34. Sea N = {1, 2, ..., n}, n ³ 2. Una colección F = {A1, ..., At} de subconjuntos Ai Í N, i = 1, ..., t, se dice que es separable, si para cada par {x,y} Í N, existe un conjunto Ai Î F de tal manera que Ai Ç {x,y} contiene sólo un elemento. F se dice que se puede cubrir, si cada elemento de N es contenido en al menos un conjunto Ai Î F. ¿Cuál es el menor valor de t, en función de n, de tal modo que existe un conjunto F = {A1, ..., At} el cual es separable y a la vez se puede cubrir?.

35. Una cerradura consiste de tres ruedas, cada una de las cuales puede ser ubicada en 8 posiciones diferentes. Debido a un defecto en el mecanismo, la cerradura se abre si cualesquiera dos de las tres ruedas se encuentren en la posición correcta. ¿Cuál es el menor número de combinaciones que debemos intentar para garantizar que la cerradura será abierta (asumir que la "combinación correcta" no es conocida)?.

36. En un triángulo ABC, se eligan los puntos K Î BC, L Î AC, M Î AB, N Î LM, R Î MK y F Î KL. Si E1, E2, E3, E4, E5, E6 y E denotan las áreas de los triángulos AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN y ABC, respectivamente. Probar que

E ³ 8(E1E2E 3E4E5E6)1/6.


37.  En un triángulo rectángulo ABC sea AD la altura relativa a la hipotenusa. La recta que une los incentros de los triángulos ABD y ACD cortan a los lados AB y AC en los puntos K, L, respectivamente. Si E y E1 denotan las áreas de los triángulos ABC y AKL respectivamente, probar que E/E1 ³ 2.

38. ¿Para qué valores de n existe un arreglo de n x n con los valores -1, 0 ó 1 en cada una de sus posiciones, de tal manera que las 2n sumas obtenidas por sumar los elementos de las filas y de las columnas sean todas diferentes?.

39. Sea ABC un triángulo acutángulo. Tres rectas LA , LB y LC son construídas pasando por los vértices A, B, C, respectivamente de acuerdo a la siguiente descripción: Sea H el pie de la altura trazada desde el vértice A al lado BC; sea SA el círculo con diámetro AH; SA corta a los lados AB y AC en M y N respectivamente, donde M y N son distintos de A; entonces LA es la recta que pasa por A y es perpendicular a MN. Las rectas LB y LC con construídas en forma similar. Probar que LA, LB y LC son concurrentes.

40. Probar que el conjunto solución de la inecuación

S k/(x-k) ³ 5/4; (la suma es tomada desde k = 1 hasta k = 70)


es una unión de intervalos disjuntos cuya suma de longitudes es igual a 1988.

41. En el pentágono convexo ABCDE, los lados BC, CD, DE son iguales. Además cada diagonal es paralela a un lado (AC es paralela a DE, BD es paralela a AE, etc.). Probar que ABCDE es un pentágono regular.

42. Considerar 2 circunferencias concéntricas de radios R y r (R > r) con centro O. Fije un punto P sobre la circunferencia menor y considere la cuerda variable AP de la circunferencia menor. Los puntos B y C se encuentran sobre la circunferencia mayor de tal manera que B, P y C son colineales y BC es perpendicular a AP.

i) Para qué valor (es) de ÐOPA toma la suma BC2 + CA2 + AB2 un valor extremo?

ii) ¿Cuáles son las posibles posiciones de los puntos medios U de BA y V de AC cuando ÐOPA varía?

43. Sea f(n) una función definida sobre el conjunto de todos los enteros positivos y tomando sus valores en el mismo conjunto. Suponga que f ( f(n) + f(m) ) = m + n para todo par de enteros positivos n,m. Encontrar todos los valores posibles para f (1988).

44. Encontrar el menor número natural n tal que, si el conjunto {1, 2, ..., n} es arbitrariamente dividido en dos subconjuntos con intersección vacía, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero.

45. Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de tres problemas. El puntaje para cada problema es un número entero de puntos desde 0 hasta 7. Probar que existen dos estudiantes A y B tales que, para cada problema, A obtenga un puntaje mayor o igual al puntaje obtenido por B.

46. Sea p el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Probar que no existen los enteros x1, x2, ..., xp que satisfagan la ecuación

S (xi2) - (4/(4p+1)).(S xi) 2 = 1

o probar que existen sólo dos valores de p para los cuales existen enteros x1, x2, ..., xp que satisfagan

S (xi2) - (4/(4p+1)).(S xi) 2 = 1

donde todas las sumas son tomadas desda i = 1 hasta i = p.

47. Sea Q el centro del círculo inscrito en un triángulo ABC. Probar que para cualquier punto P,

a(PA)2 + b(PB)2 + c(PC)2 = a(QA)2 + b(QB)2 + c(QC)2 + (a + b + c)(QP)2,

donde a=BC, b=CA y c=AB.

48. Sea {ak}1¥ una secuencia de números reales no negativos tales que

ak - 2ak+1 + ak+2 ³ 0 y S aj £ 1 para todo k = 1, 2, ... ,

donde la suma es tomada desde j=1 hasta j=k. Probar que

0 £ (ak - ak+1) < 2/(k2) for all k = 1, 2, ... .

49. Una entero positivo es llamado un número doble si su representación decimal consiste de un bloque de dígitos que no comienza con cero seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Por ejemplo, 360360 es un número doble pero 36036 no lo es. Probar que existen infinitos números dobles los cuales son cuadrados perfectos.

50. Una función f definida sobre los enteros positivos (y tomando valores enteros positivos) es dada por:

f(1) = 1, f(3) = 3,
f (2n) = f (n),
f (4n+1) = 2 f(2n+1) - f(n),
f (4n+3) = 3 f(2n+1) - 2f(n),

para todo entero positivo n. Determinar con prueba el número de enteros positivos £ 1988 para los cuales f(n) = n.

51. El triángulo ABC es acutángulo. L es una recta en el plano del triángulo y u, v, w son las longitudes de las perpendiculares desde A, B, C hacia L, respectivamente. Probar que

u2tan A + v2tan B + w2tan C ³ 2 D,

donde D es el área del triángulo, y determinar las rectas L para las cuales la igualdad cumple.

52. La secuencia {an} de enteros es definida por

a1 = 2, a2 = 7

y

-1/2 < an+1 - (an2)/ (an-1) £ 1/2; para n ³ 2.

Probar que an es impar para todo n > 1.

53. Un punto M es elegio sobre el lado AC de un triángulo ABC de tal manera que los radios de los círculos inscritos en los triángulos ABM y BMC son iguales. Probar que:

BM2 = D cot (B/2),

donde D es el área del triángulo ABC.

54. Alrededor de una mesa circular un número par de personas tienen una discusión. Después de un intermedio, ellos se sientan de nuevo en un orden diferente. Probar que existen al menos dos personas tales que el número de participantes sentados entre ellos antes y después del intermedio es el mismo.

55. El entero 9 puede ser escrito como una suma de dos enteros consecutivos: 9 = 4 + 5; sin embargo, 9 puede ser escrito como la suma de (más de uno) enteros positivos consecutivos en exactamente dos maneras, pues 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4. ¿Existe un entero el cual pueda ser escrito como la suma de 1990 enteros positivos consecutivos y además pueda ser escrito como la suma de (más de uno) enteros positivos consecutivos en exactamente 1990 maneras?.
56.  Dados n países con 3 representantes cada uno, m comités A(1), A(2), ..., A(m) serán llamados un ciclo si:

1.        cada comité tiene n miembros, uno de cada país,

2.        no hay dos comités que tengan el mismo número de miembros,

3.        para i = 1, 2, 3, ..., m, el comité A(i) y el comité A(i+1) no tienen miembros en común donde A(m+1) denota A(1),

4.        Si 1 < |i-j| < m-1, entonces los comités A(i) y A(j) tienen al menos un miembro en común.

¿Es posible tener un ciclo de 1990 comités con 11 países ?
57.  En un círculo 2n - 1 (n ³ 3) puntos diferentes son dados. Encontrar el mínimo número natural N con la propiedad que si cualesquiera N de los puntos dados son coloreados negro, existen dos puntos negros tales que en el interior de uno de los arcos que estos puntos determinan existen exactamente n de los 2n - 1 puntos.
58.  En un círculo 2n - 1 (n ³ 3) puntos diferentes son dados, de los cuales n son coloreados de negro. Probar que uno puede encontrar dos puntos negros tales que uno de los dos arcos que estos puntos determinan contiene exactamente n de los 2n - 1 puntos.
59.  Asumamos que el conjunto de todos los enteros positivos es descompuesto en r subconjuntos disjuntos A1 U A2 U ... U Ar = N. Probar que uno de ellos, digamos Ai, tiene la siguiente propiedad: Existe un entero positivo m tal que para cualquier k uno puede encontrar los números a1, a2, ..., ak en Ai con 0 < aj+1 - aj £ m (1 £ j £ k - 1).
60.  Dado el triángulo ABC donde todos los lados tienen diferente longitud, sean G, K y H el centroide, incentro y ortocentro del triángulo, respectivamente. Probar que ÐGKH > 90°.
61.  Sea f(0) = f(1) = 0 y f(n+2) = 4n+2.f(n+1) - 16n+1.f(n) + n.2n2, n = 0, 1, 2, 3, ... . Probar que los números f(1989), f(1990), f(1991) son divisibles por 13.


62.  Dado un entero positivo k, denotemos el cuadrado de la suma de sus dígitos por f1(k) y sea

fn+1(k) = f1 ( fn(k) ).

Determinar el valor de f1991 (21990).


63.  El incentro del triángulo ABC es K. El punto medio de AB es C1 y el de AC es B1. Las restas C1K y AC se cortan en B2, las rectan B1K and AB se cortan en C2. Si las áreas de los triángulos AB2C2 y ABC so iguales, ¿cuál es la medida del ángulo Ð CAB?.


64.  Probar que todo entero k (>1) tiene un múltiplo positivo el cual es menor que k4 y puede ser escrito en el sistema decimal con a lo más cuatro diferentes dígitos.


65.  Sea n un número natural compuesto y p un divisor propio de n. Encontrar la representación binaria de el menor número natural N tal que ((1 + 2p + 2n-p).N - 1)/ (2n) es un entero.


66.  Diez localidades son atendidas por dos aerolíneas internacionales tales que existe un servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos de dichas localidades y todas las aerolíneas dan servicios en ambos sentidos. Probar que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer dos tours circulares disjuntos cubriendo cada uno de ellos un número impar de ciudades.


67. Encontrar todos los enteros positivos n que tengan la propiedad que (2n + 1)/(n2) es un entero.


68.  Sean a,b,c,d números reales no negativos tales que ab + bc + cd + da = 1. Probar que

(a3)/(b + c + d) + (b3)/(a + c + d) + (c3)/(a + b + d) + (d3)/(a + b + c) ³ 1/3

 

69. Sea Q+ el conjunto de los números racionales positivos. Construir una función f: Q+ ® Q+ tal que

f(xf(y)) = (f(x))/y,

para todo x, y en Q+.


70.  Sea P un polinomio cúbico con coeficientes racionales, y sean q1, q2, q3, ... una secuencia de números racionales tales que qn = P (qn+1) para todo n ³ 1. Probar que existe k ³ 1 tales que para todo n ³ 1, qn+k = qn.


71.  Encontrar todos los números naturales n para los cuales todo número natural cuya representación decimal tiene n-1 digitos 1 y un dígito 7 es primo.


72.  Probar que sobre el plano cartesiano es imposible dibujar una poligonal cerrada tales que

1.        las coordenadas de cada vértice son racionales,

2.        la longitud de cada lado es igual a 1,

3.        la poligonal tiene un número impar de vértices.