Problemas planteados en diversas olimpiadas en el mundo

1. ¿Puede el número, obtenido al escribir en una fila los números del 1 al n (uno después de otro), presentar los mismos dígitos cuando es leído de izquierda a derecha como cuando es leído de derecha a izquierda?


2. Cierta cantidad de hombres se están moviendo con velocidad constante en una línea recta. Se sabe que un intervalo de tiempo dado la suma de todas las distancias mutuas entre ellos va decreciendo monotónicamente. Probar que la suma de las distancias entre un hombre y cada uno de los otros, en el mismo intervalo de tiempo, también va decreciendo monotónicamente.


3. Probar que al cortar una pirámide cuya base es un polígono regular de n lados, no se puede obtener como sección un polígono regular de (n + 1) lados, donde n ³ 5.


4. Probar que si a1, a2, ..., am son numeros diferentes de cero y a1 + a2.2k + a3.3k + ... + am.mk = 0 para cada entero k = 0, 1, ..., n (n < m-1), entonces hay al menos n pares de números vecinos con diferentes signos en la secuencia a1, a2, ..., am  

5. Existen tres números naturales, todos ellos mayores que uno, tales que el cuadrado de cada número disminuido en uno, puede ser dividido por cada uno de los otros números?.

6.  La bisectriz CD es trazada en un triángulo isósceles ABC (AB = BC). La recta que es perpendicular a CD y pasa por el circuncentro de ABC corta a BC en E. La recta paralela a CD que pasa por el punto E corta a AB en F. Probar que BE = FD.

7. ¿Existe un conjunto finito M de números reales no triviales, tales que para cada número natural n, existe un polinomio de grado no menor que n con coeficientes incluídos en M y donde todas sus raíces también están incluídas en M?.

8.  Los enteros del 1 al 100 son escritos en una fila en un orden desconocido. Con una pregunta acerca de 50 números cualesquiera , nosotros podemos saber en que orden relativo uno respecto al otro estos 50 números han sido escritos. Cuántas preguntas deben ser hechas al menos para saber en qué orden han sido escritos los 100 números?.
9.  H es el ortocentro de un triángulo agudo ABC, en A, se traza dos tangentes AP y AQ del círculoof cuyo diámetro es BC, los puntos de tangencia son P y Q respectivamente. Probar: P, H, Q son colineares.

10.  S={1,2,...,50}. Encontrar el mínimo número natural k, tal que cualquiera k-elemento del subconjunto S, hayan dos diferentes elementos a y b, a+b|ab.

11.  La Función F: R a R satiface F(x3+y3)=(x+y)((F(x))2-F(x)F(y)+(F(y))2), donde x, y son numeros naturales arbitrarios. Probar: Para número real x, F(1996x)=1996F(x).

 

12. Ocho cantantes toman parte en un festival artístico. El organizador quiere planear m conciertos. Para cada concierto hay 4 cantantes que salen a escena. Restringir el tiempo para que cada dos cantantes que salgan a escena sea siempre el mismo. Haga un diseño para que m sea el mínimo.

13.  Para el número natural n, X0=0, Xi>0, i=1,2,..,n, and sum(i=1 to n, Xi)=1. Probar: 1 £ sum(i=1 to n, Xi/(sqr(1+X0+X1+...+X(i-1))sqr(Xi+...+Xn))

14.  En el triángulo ABC, el ángulo C=90 grados, el ángulo A=30 degrees, BC=1. Encontrar el mínimo valorde todas los lados mas largos en el triángulo inscrito en ABC. Un triángulo inscrito significa que todos los vértices del triángulo pertenecen a los tres lados del triangulo ABC respectivamente.

 

15. Los números reales X1, X2, ... , X1997 satisfacen:

1.        -1/Ö3 £ Xi £ Ö3 ( i=1,2,..,1997 );

2.        X1+X2+...+X1997= -318 Ö3.

Encontrar el mínimo valor de X112+X212+...+X199712. Donde Ö3 significa la raiz positiva de 3.

16.  Sea A1B1C1D1 un cuadrilátero convexo cualquiera, P es un punto en su interior, y por cualquier vértice del cuadrilátero, la línea que une P y los dos lados del vértice forman dos ángulos que son agudos. Sea Ak, Bk, Ck, Dk los puntos simétricos de P por las líneas A(k-1)B(k-1), B(k-1)C(k-1), C(k-1)D(k-1), D(k-1)A(k-1) respectivamente ( k=2,3,...). Piense en la secuencia AjBjCjDj (j=1,2,...) :

1.        Entre los 12 primeros cuadriláteros, ¿Cuál es similar al 1997mo cuadrilátero y cuál no?

2.        Suponga que el 1997mo es un cuadrilátero inscrito, ¿Cuál de los 12 cuadriláteros está también inscrito y cuál no?

17.  Pruebe que existen infinitos números naturales n, de modo que podamos hacer un arreglo 1,2,3,...,3n como una tabla:

A1 A2 ... An

B1 B2 ... Bn

C1 C2 ... Cn

satisfaga lo siguiente:

1.        A1+B1+C1=A2+B2+C2=...=An+Bn+Cn sea divisible por 6;

2.        A1+A2+...An=B1+B2+...+Bn=C1+C2+...Cn sea también divisible por 6.

18. El cuadrilátero ABCD es inscrito en un círculo, Las extensiones de las líneas AB y DC interceptan at P, las extensiones de las líneas AD y BC interceptan a Q, trazar las dos tangentes del círculo QE y QF los cuales E, F son sus puntos de tanhencia. Probar que: P, E, F son colineales.

19.  A={1,2,3,...,17}. Para un mapeo uno-a-uno de F desde A hasta A. Hacer que F1(x)=F(x), F(k+1)(x)=F(Fk(x)) (k es un número natural) Luego hay un mapeo de uno-a-uno F que satisface que existe un número natural M, el cual:

1.        Cuando m < M, 1 £ i £ 16,
Fm(i+1)-Fm(i)<>1 or -1 (mod 17),
Fm(1)-Fm(17)<>1 or -1 (mod 17);

2.        Cuando 1 £ i £ 16,
FM(i+1)-FM(i)=1 or -1 (mod 17),
FM(1)-FM(17)=1 or -1 (mod 17).

Para tales mapeos F, encontrar el máximo valor de M.

20.  La secuancia n-positiva A1, A2, ... satisface An+m £ An+Am, donde m, n son números naturales.
Probar que: Para cualquier n
³ m, An £ mA1+((n/m)-1)Am.

 

21. En el triángulo dado ABC, el número real t>1. El punto P se mueve sobre el arco BAC del circulo circunscrito. Se extiende BP, CP hasta U, V respectivamente, donde BU=tBA, CV=tCA. Se extiende UV hasta Q, y UQ=tUV. Encontrar el lugar geométrico del punto Q.

22.  Hay n equipos de futbol que toman parte en una competencia, cada dos equipos juegan un partido. El ganador de un encuentro consigue 3 puntos, el perdedor consigue 0 puntos. Y en un empate, a cada equipo se le anota 1 punto. Para asegurar que hay mas k-1 equipos cuyo puntaje es no menos que un equipo, ¿Cuántos puntos por lo menos se debe conseguir en la competencia?

23.  Encontrar un número natural m, de manera tal que la secuencia integral {Xn}:

1.        X0=1, X1=337

2.        (X(n+1)X(n-1)-(Xn)2)+(3/4)(X(n-1)+X(n+1)-2Xn)=m sea para cada número natural n.

3.        (1/6)(Xn+1)(2Xn+1) es un número cuadrático para cada número natural n.

 

24. F(x)=sum(i=0 to n, A(2i)(x(2n-2i))) es un n-deg polinomio con coeficientes reales. Y

1.        Todas las raices de F(x) ie un número imaginario puro.

2.        sum(i=0 to n, A(2i)A(2n-2i)) £ ((2n)!/(n!)2)A(0)A(2n)

Encontrar todos los polinomios (x).

25.  Para los números naturales n(³ 6), m. X={1,2,...,n} A1,A2,...,Am es un grupo de 5 elementos subconjunto de X.
Si m>n(n-1)(n-2)(n-3)(4n-15)/600, probar que existe 1
£ i1 < i2 <... < i6 £ m, tal que |Union(j=1 to 6, A(ij))|=6.

26.  Hay 1997 cápsulas de cierta medicina, y en tres frascos A, B y C tanto como 1997, 97, 17 cápsulas respectivamente. Al comienzo todas las cápsulas se colocan en la frasco A, y los tres frascos estan cerrados. Cada cápsula contiene 100 grageas. Cuando un frasco se abre, todas las cápsulas pierden una gragea. Una persona quiere tomar toda la medicina, pero cada día él puede abrir solo un frasco, tomar una cápsula, mover algunas cápsulas dentro de los frascos, y luego cerrarlos. Encontrar el mínimo de grageas que el perderá.

27. Considere el ángulo XOY y P dentro de este ángulo. Trace la linea d pasando por P usando una regla y un compas de manera que el área de OAB es OP2 donde A y B son las intersecciones de OX y OY con d.

28.  Probar que el polinomio x4 - 1993x3 + (1993 + m)x2 - 11x + m tiene al menos una raiz entera.

29.  Para todas las permutaciones (a1, a2, ... , an) del conjunto {1, 2, .. n} donde n es un entero positivo dado, encontrar el valor máximo valor de la suma:

|a1 - a2| + |a2 - a3| + ... + |an-1 - an|


30.  Encontrar el menor entero n > 4 de tal manera que exista un conjunto de personas con las siguientes propiedades:

1.        Dos personas cualquiera que son amigos, no tienen amigos en común.

2.        Dos personas cualquiera que no son amigos tienen exactamente dos amigos en común.

Asumir que si A tiene a B como su amigo entonces, B también tiene a A como su amigo.

31. Encontrar el valor de la expresión (...(((2*3)*4*5)*...)*1995, donde x * y = (x + y)/(1 + xy) para todo x, y positivos.

32.  Considere dos círculos C1 y C2 con centros O1 y O2 and radii r1, r2, respectivamente (r2 > r1) los cuales se intersectan en A y B tales que O1AO2 = 90°. La recta O1O2 corta C1 en C, D y C2 en E, F, donde E se encuentra entre C y D mientras que D se encuentra entre E y F. La recta BE corta a C1 en K e intersecta la recta AC en M, mientras que BD corta C2 en L y AF en N. Probar que:

r2/r1 = (KE/LM).(LN/ND)


33.  Sean a, b enteros positivos tales que a > b y a+b es par. Probar que las raíces de la ecuación

x2 - (a2 - a + 1)(x - b2 - 1) - (b2 + 1)2 = 0 son enteros positivos, ninguno de los cuales es un cuadrado perfecto.

 

34. Sea n un entero positivo y S el conjunto de todos los puntos (x,y) donde x e y son enteros positivos con x £ n, y £ n. Asumamos que T es el conjunto de todos los cuadrados cuyos vértices pertenecen a S. Denotemos por ak (k ³ 0) el número de pares de puntos en S los cuales son vértices de exactamente k cuadrados de T. Probar que a0 = a2 + 2a3.

 

35. Demuestre que en cualquier triángulo el centro del círculo circunscrito esta cerca del baricentro del triángulo que en el círculo inscrito.

36.  Sea p un número primo mayor que 5. Demostrar que el conjunto X = {p - n2 | n entero y n2 , p} contiene dos elementos diferentes x e y, diferentes de 1, tal que x divide a y.

37.  Sea ABCDE un pentágono convexo y sean M, N, P, Q, S los puntos medios de sus lados nombrados como AB, BC, CD, DE, EA. Si las líneas DM, EN, AP y BQ tienen un punto común entonces este punto pertenece a CS.

38. Apruebe o desapruebe la siguiente declaración: Hay un subconjunto A del conjunto {1, 2, 3, ... , 21996 - 1} con al menos 2012 elementos de tal manera que 1 y 21996 - 1 pertenecen ambos a A, y cada elemento de A \ {1} es la suma de dos, (no necesariamente distintos) de A.

 

39. Sea O un punto interior de un cuadrilátero convexo ABCD de manera que satisfaga

OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S(ABCD)

Donde S(ABCD) denota el área de ABCD. Demuestre que ABCD es un cuadrado con centro O.

40.  Sea A = {A1, A2, ... , Ak}, (k>1), una colección de subconjuntos de un n-set S tal que para cualquiera x, y Î S hay un Ai Î A tal que x Î Ai y y Î Ai or x Î Ai y y Î Ai. Demuestre que K ³ [log2 n].

41.  Tres círclulos G, C1 y C estan dados en un plano. C1 y C2 tangente G internamente en los puntos B y C, respectivamente. Además C1 y C1 tangentes una a la otra externamente a un punto D. Sea A un punto en el cual una tangente común de C1 y C2 intersecta G. Señalado por M hay un segundo punto de intersección de la línea AB y el cículo C1 y por N el segundo punto de intersección de la línea AC y el círculo C2. También señalado por K y L un segundo punto de intersecciónde la línea BC con C1 y C2, respectivamente. Demuestre que las líneas AD, MK y NL son concurrentes.

42.  Encontrar todas las funciones f : R ® R tal que f (xf(x) + f(y)) = (f (x))2 + y valga para todos los x e y.

43. Demuestre que en cualquier triángulo el centro del círculo circunscrito esta cerca del baricentro del triángulo que en el círculo inscrito.

44.  Sea p un número primo mayor que 5. Demostrar que el conjunto X = {p - n2 | n entero y n2 , p} contiene dos elementos diferentes x e y, diferentes de 1, tal que x divide a y.

45.  Sea ABCDE un pentágono convexo y sean M, N, P, Q, S los puntos medios de sus lados nombrados como AB, BC, CD, DE, EA. Si las líneas DM, EN, AP y BQ tienen un punto común entonces este punto pertenece a CS.

46. Halle todas las ternas de enteros (a,b,c) tales que:

a + b + c = 24
a2 + b2 + c2 = 210
abc = 240

Fundamente su respuesta.

47. Sea P un punto interior del triángulo equilátero ABC tal que:

PA = 5, PB = 7, y PC = 8

Halle la longitud de un lado del triángulo ABC.

48. A cada entero positivo n se asigna un entero no negativo F(n) de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones:

(i) f(rs) = f(r) + f(s)

(ii) f(n) = 0, siempre que la cifra en las unidades n sea 3.

(iii) f(10) es cero.

Halle f(1985).Justifique su respuesta.