Unidad:  Números

 

Objetivo

1.              Construir la tabla de valores, la expresión algebraica y el gráfico de situaciones que involucren proporcionalidad directa ó proporcionalidad inversa.

2.              Resuelven problemas de proporcionalidad directa e inversa; los representan utilizando diversos registros (tablas de valores, gráfico y expresión algebraica).

 

Contenido

Construcción y análisis de tablas y gráficos asociados a la proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa (primer cuadrante).

Actividad

En esta actividad se espera que los alumnos elaboren tablas, gráficos y las expresiones algebraicas relacionadas a situaciones de proporcionalidad directa ó inversa. De esta forma  podrán entender situaciones de la vida diaria en las cuales estos elementos se presentan como por ejemplo el cambio de monedas (dólar a peso, libras esterlinas a dólar, etc), también la proporcionalidad edad proyecciones de vida (a mayor edad menor proporcionalidad de vida, a menor edad mayor proporcionalidad de vida)

Esta actividad permite desarrollar los OFT. En el área de ámbito y crecimiento y autoformación personal capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y relacionar la información relevante, en el área,  del ámbito desarrollo del pensamiento: habilidades de investigación;  habilidades de resolución de problemas y de pensamiento lógico; y a habilidades de generalización y de modelización a partir de relaciones observadas; las habilidades comunicativas, que se vinculan con la capacidad de exponer ideas; habilidades de análisis, interpretación y síntesis de información, y en el área ámbito persona y su entorno trabajo en equipo.

Recursos

  •   Tener instalado el software EQUATION GRAPHER en cada equipo La dirección en Internet de donde bajarlo es: http://www.mfsoft.com/equationgrapher/

  •   Un set de 4 hojas de papel milimetrado por alumno.

  •   Al menos una impresora (preferentemente de tinta) y papel suficiente para imprimir unas ocho hojas por computador.

Acciones

I.         PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dar el siguiente problema a los alumnos:

Durante un viaje a Europa pasé de Bélgica a España. Quise cambiar los francos belgas que me habían sobrado por pesetas. Fui a un banco y en ese momento me cambiaban 100 francos belgas en 400 pesetas.

a)       ¿Cuántas pesetas me cambiarían por 200 francos?

b)       ¿y por 50?

c)       ¿Cuántos francos debería tener para poder cambiarlos por 2.000 pesetas?

d)       Completa la siguiente tabla de valores

x (francos belgas)

50

100

150

200

250

300

y (pesetas)

 

200

 

 

 

 

Si aumenta el número de francos, el número de pesetas ¿aumenta o disminuye?

Si se multiplica el número de francos per 2, ¿el número de pesetas aumenta al doble?, y si se divide por 2 a los francos, ¿las pesetas disminuyen a la mitad?

Si contestaste que aumenta a la primera pregunta y que sí a las dos siguiente entonces los francos y las pesetas son dos magnitudes DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

¿Qué valor se obtiene al dividir cada valor de y por el correspondiente valor de x?

¿Qué nombre se le da a este número?

Ensaya una fórmula que te permita pasar directamente de pesetas a francos:

   y =

 

En una hoja de papel milimetrado dibuja un sistema cartesiano adecuado para representar como puntos los pares de valores (x, y) de la tabla anterior.

 

3.             Ahora usando el software EQUATION GRAPHER dibuja la función que encontraste. Imprímela y compárala con la que tú hiciste. ¿Son la misma?

Usa el botón X-CALC (ver Anexo) para obtener el número de francos que corresponden a 2000 pesetas.

Usa el botón Y-CALC (ver Anexo) para obtener el número de pesetas que corresponden a 25 francos.

4.         Soluciones:

¿Qué valor se obtiene al dividir cada valor de y por el correspondiente valor de x?

Se obtiene 0,5

¿Qué nombre se le da a este número?

Constante de proporcionalidad directa.

Ensaya una fórmula que te permita pasar directamente de pesetas a francos:

 

   y = 0.5 · x

Este es el gráfico que deberías tener en tu pantalla

(con varios zoom out, ver anexo)

1000 francos corresponden a 2000 pesetas.

50 pesetas que corresponden a 25 francos.

II.  PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dar el siguiente problema a los alumnos:

Un grupo de 10 personas tarda 6 horas en cosechar una línea de parras en una viña.

a)       ¿Cuántas horas tardarían 20 personas?

b)       ¿y 15 personas?

c)       Completa la siguiente tabla de valores

x (personas)

5

10

15

20

25

30

y (horas)

 

6

 

 

 

 

 

¿Qué razonamiento hay que seguir para deducir los valores de la tabla?

Si aumenta el número de personas, el tiempo ¿aumenta o disminuye?

Si se multiplica el número de personas per 2, ¿el tiempo disminuye a la mitad?, y si se divide por 2 al tiempo, ¿el número de personas disminuye a la mitad?

Si contestaste que disminuye a la primera pregunta y que sí a las dos siguiente entonces el número de personas el tiempo son dos magnitudes INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

¿Qué valor se obtiene al multiplicar cada valor de y por el correspondiente valor de x

¿Qué nombre se le da a este número?

Ensaya una fórmula que te permita pasar directamente del tiempo al número de personas:

   y =

 

(Recuerda que cada producto debe dar 60, o sea 5·12=60, 6·10=60, etc. Luego x · y = 60. De aquí despeja y)

En una hoja de papel milimetrado dibuja un sistema cartesiano adecuado para representar como puntos los pares de valores (x, y) de la tabla anterior.

 

3.         Ahora usando el software EQUATION GRAPHER dibuja la función que encontraste. Imprímela y compárala con la que tú hiciste. Con el botón zoom box in (ver Anexo) selecciona sólo la rama positiva del gráfico. ¿Son la misma?

Usa el botón X-CALC (ver Anexo) para obtener el tiempo que demorarían 2 personas en cosechar una línea de parras.

Usa el botón Y-CALC (ver Anexo) para obtener el número de personas necesarias para que la cosecha de una línea de parras demore 1 hora.

4.         Soluciones:

 ¿Qué valor se obtiene al multiplicar cada valor de y por el correspondiente valor de x?

Se obtiene 60

¿Qué nombre se le da a este número?

Constante de proporcionalidad inversa.

Ensaya una fórmula que te permita pasar directamente del tiempo al número de personas:

     60

   y = ----

      x

Este es el gráfico que deberías tener en tu pantalla

 

 

 

 

 

 

 

2 personas demoran 30 horas en cosechar una línea de parras.

Se necesitan 60 personas para cosechar una línea de parras en 1 hora

 

Evaluación

 

1.                  De las siguientes tablas determina cuál ó cuáles representan algún tipo de proporcionalidad (directa ó inversa). Justifica tu respuesta.

 

x

5

10

15

20

25

 

x

1

4

5

10

20

y

1

2

3

4

5

y

20

5

4

2

1

 

x

2

3

4

3

2

 

x

18

15

13

10

9

y

1

2

3

4

5

y

20

15

14

2

1

 

2.                  Juan sale cada día a correr como entrenamiento para participar en el Triatlón de Pucón. Un día decide entrenarse en un circuito de 3 kilómetros de longitud y comienza a cronometrarse el tiempo desde la línea de meta. La siguiente tabla muestra la posición de Juan en función del tiempo transcurrido:

 

x (segundos)

1

5

10

12

15

20

y (metros)

3

15

30

36

45

60

 

a.         Determina el tipo de proporcionalidad involucrada.

b.         Determina la fórmula que describe la posición de Juan respecto del tiempo.

c.         Usando el software EQUATION GRAPHER (ver Anexo)  y la fórmula encontrada en b haz el gráfico de la situación. Con el botón zoon box in acerca la porción del gráfico en donde están los datos de la tabla. Imprímelo

d.         Usando el botón Y-CALC (en el software, ver Anexo) determina cuántos metros habrá recorrido Juan en 60 segundos.

e.         Usando el botón X-CALC (en el software, ver Anexo) determina cuántos segundos tardará Juan en recorrer 100 metros.

 

3.                 En un laboratorio se realiza un experimento para comprobar la relación que hay entre la presión de un gas y el volumen que ocupa (cuando la temperatura es constante).

En un cilindro provisto de un manómetro (instrumento con forma de reloj que mide la presión) y un émbolo o pistón que ajusta perfectamente, se halla un gas que ocupa inicialmente un volumen de 12 dm3 (12 decímetros cúbicos) tiene una presión de 0,1 atmósferas.

Al mover el pistón va variando el volumen. Los datos del experimento se registraron en la siguiente tabla:

 

x  (presión en  

    atmósferas)

0,1

0,2

03

0,4

0,5

0,6

y  (volumen

    en dm)

12

6

4

3

2,4

2

 

a.       A medida que aumenta la presión el volumen ¿aumenta o disminuye?

b.       ¿Qué ocurre si cada valor de x es multiplicado por su respectivo valor y?

c.       Determina el tipo de proporcionalidad involucrada.

d.       Determina la fórmula que describe el volumen ocupado por el gas respecto de la presión que sobre él se ejerce.

e.           Usando el software EQUATION GRAPHER (ver Anexo) y la fórmula encontrada en d haz el gráfico de la situación. Con el botón zoon box in (ver Anexo) acerca la porción del gráfico en donde están los datos de la tabla. Imprímelo.

f.         Usando el botón Y-CALC (en el software, ver Anexo) determina el volumen que ocupa el gas cuando el pistón ejerce una presión de 1 atmósfera.

g.         Usando el botón X-CALC (en el software, ver Anexo) determina la presión del gas cuando está ocupando 0,1 dm3

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