Volúmenes de cuerpos de revolución

 

Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a, b], al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución.

 

Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es:

 

                                        

 

Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:

 

                                       

 

Ejercicio: cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

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 Calcular el volumen de una esfera de radio r.

 

Resolución:

· Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de cordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la semiesfera.

 

· La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2:

 

                                 y2 = r2 - x2,   [f(x)]2 = y2 = r2 - x2

 

 

· El volumen de la esfera es entonces:

 

         

 

 

‚ Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r.

 

Resolución:

· Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un triángulo de vértices (0, 0),

(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y (h, r ), se genera un cono de altura h y radio de la base r .

 

· La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es

 

                               

 

 

 

· El volumen del cono es entonces: