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Sucesión convergente Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente. Una sucesión (an
)
que tenga por límite I, se
dirá que tiende a I o que
converge a I.
Resolución: ·Se toma un e
cualquiera (sin especificar más). ·Hay que encontrar
un no
tal que para n
³
no , 0 - e
< an
< 0 + e.
2. Decidir si la sucesión de término general
es convergente y, en caso afirmativo, hallar el límite. Resolución: · Para n =1, a1 = -1/6 = -0,1666 Para n = 7, a7
= 0,9166
a10000 = 1,9997001; a30000 = 1,9995667;... Todo parece indicar que el límite de esta sucesión, cuando n
tiende a infinito, es 2. Para probarlo, se hará uso de la definición. · Se toma un e
cualquiera. · Hay que ver a
partir de qué n se cumple |an
-
2| < e.
13 < e(n
+ 5) = en + 5e Þ 13 - 5e
< en.
En consecuencia, a12996, a12997, a12998 ... están todos contenidos en el
Primera propiedad de las sucesiones convergentes a) Si una sucesión (an
)
tiene límite I positivo,
existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos. b) Si una sucesión (an
)
tiene límite I negativo,
existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos. c) Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca
del signo de cada uno de los términos de la sucesión. Demostración:
·Por definición de
límite de una sucesión, existe un subíndice n0 tal que para
adelante, los que le siguen son positivos.
El razonamiento es análogo al del caso anterior.
son alternadamente positivos y negativos. Sucesiones
alternadas Son aquellas que alternan los signos de sus términos (positivo,
negativo, positivo). |
