Cálculo de rectas tangentes, por un punto, a una circunferencia

 

 

· Si el punto P pertenece a la circunferencia, la recta tangente es la perpendicular al radio por P.

 

· Si el punto P es exterior a la circunferencia, el proceso consiste en hallar una recta que, conteniendo al punto, diste del centro un valor igual al radio.

 

 

Ejercicio:

 Hallar las tangentes a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 3y - 18 = 0 por los puntos (2, 3), (1, 1) y (5, 5).

 

Resolución:

 

· Se comprueba si los puntos pertenecen o no a la circunferencia:

 

(2, 3) ® 22 + 32 - 2·2 + 3·3 - 18 = 0 Þ (2, 3) pertenece a la circunferencia.

 

(1, 1) ® 12 + 12 - 2+ 3 - 18 = -15 < 0  Þ (1, 1) es interior a la circunferencia.

 

(5, 5) ® 52 + 52 - 10 + 15 - 18 = 37 > 0 Þ (5, 5) es exterior a la circunferencia.

 

Según esto, habrá una tangente por (2, 3), ninguna por (1, 1) y dos por (5, 5).

 

· Tangente por (2, 3):

 

Se ha de calcular la ecuación de una recta que pase por (2, 3) y sea perpendicular al radio que contiene a este punto.

 

es:

 

 

 

La pendiente de la tangente es:

 

                                     

 

 

· En el caso del punto (5, 5) hay que hallar las rectas que, conteniendo a éste, su distancia al centro es el radio.

 

 

La ecuación de una recta que contenga a (5, 5) es y  - 5 = m( x  - 5) Þ

Þ mx  - y  + (5 - 5m) = 0

 

 

 

 

169 - 208m + 64m2 = 85 + 85m2

 

21m2 + 208m - 84 = 0

 

Sustituyendo cada uno de estos valores en la ecuación y - 5 = m (x - 5) se obtienen las dos tangentes.