Raíces
de un número complejo Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula
de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han
de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un
múltiplo entero de 360º. Sea Ra un número
complejo y considérese otro complejo R'a', tal que
Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a' Esto equivale a que
Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que
si a k se le suma un múltiplo
de n, al dividir el nuevo
argumento, éste aparece incrementado en un número entero de
circunferencias. Por tanto, basta con dar a k
los valores 1, 2, 3, ..., n -
1, lo que da un total de n - 1
raíces, que junto a k = 0 da
un total de n raíces. Ejercicio: Hallar las raíces
cúbicas de 8. Resolución: El método descrito permite calcular raíces únicamente en la
forma módulo-argumental. Se debe escribir el número 8 en dicha forma:
Como la parte real de 1 es positiva el valor adecuado es a
= 0º. Calculando los valores precisos:
Así, las raíces cúbicas son las que tienen módulo igual a 2 y
argumento 0º + 120ºk, donde k
puede tomar los valores 0, 1 y 2. Se tienen pues las tres raíces:
20º = 2(cos 0º + i
sen 0º) = 2(1 + 0i ) = 2
‚ Hallar las raíces
cuartas de 2 + 2i . Resolución: En primer lugar se calcula el módulo y el argumento de 2 + 2i
:
Dando a k los valores 0,
1, 2 y 3 se obtienen las cuatro raíces cuartas de 2 + 2i, que son:
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