Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado

 

        Dada la ecuación de segundo grado  ax2 + bx + c = 0,  y  x1  y  x2  sus soluciones, se cumple:

 

1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado,  x1 + x2,  es

 

                               

 

Demostración:

 

             

 

 

2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado,  x1 × x2, es

 

                                          

 

Demostración:

 

 

             

 

 

El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de cuadrados:

 

 

 

Ejercicio:

1. Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus soluciones:

 

 

Resolución:

 

a) 2x2 + 7x - 15 = 0;  a = 2;  b = 7;  c = -15

 

 

 

 

   

 

 

1. Se pasa esta ecuación a la forma  ax2 + bx + c = 0:

 

20 = x(9 - x)  Þ  20 = 9x - x2  Þ  x2 - 9x + 20 = 0

 

2. a = 1;  b = -9;  c = 20

 

c) 3x2 + 6x + 3 = 0;  en esta ecuación  a = 3;  b = 6;  c = 3.

 

 

        Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de la suma y producto de sus soluciones

 

        Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado, se puede determinar la ecuación correspondiente.

 

        Sea  S  la suma de las dos raíces o soluciones de la ecuación:

 

 

 

        La ecuación de segundo grado se escribe como  ax2 + bx + c = 0.  Sustituyendo  b y c por su valor:  ax2 - aSx + aP = 0

 

        Dividiendo toda la ecuación entre  a:  x2 - Sx + P = 0

 

        Conociendo la suma  S,  y el producto,  P,  de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, la ecuación se puede escribir como:

 

                                x2 - Sx + P = 0

 

 

Ejercicio:

1. Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6.

 

Resolución:

 

1. S = 5;  P = 6

 

La ecuación es  x2 - Sx + P = 0. Sustituyendo  S  y  P  por sus valores, se obtiene:

 

                                x2 - 5x + 6 = 0

 

2. Para comprobar que la suma y el producto de las soluciones de la ecuación son 5 y 6 respectivamente, basta con resolver la ecuación.

 

 

 

S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5

P = x1 × x2 = 3 × 2 = 6

Luego, efectivamente la ecuación es  x2 - 5x + 6 = 0.

 

2. Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones  x1 =  - 2,

x2 = 3.

 

Resolución:

 

1. S = x1 + x2 = -2 + 3 = 1

 

   P = x1 × x2 = -2 × 3 = -6

 

2. Sustituyendo los valores de  S  y  P  en la ecuación  x2 - Sx + P = 0  se obtiene la ecuación  x2 - x - 6 = 0.

 

3.  Para comprobarlo basta con resolver la ecuación y observar que sus raíces son

-2 y 3.

 

3. Determinar una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus raíces

 

Resolución:

 

 

 

1. Multiplicando toda la ecuación por el m.c.m de los denominadores, se obtiene la ecuación equivalente  6x2 - 8x + 15 = 0.

 

4. Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es -14.

 

Resolución:

 

1. La búsqueda de los dos números puede hacerse considerándolos como las dos soluciones de una ecuación de segundo grado.

 

S = 5;  P = -14.

 

2. Los dos números son las soluciones de la ecuación  x2 - 5x - 14 = 0.

 

 

    

 

Los dos números buscados son 7 y -2.

 

3. Comprobación:  7 + (-2) = 5 = S

                            7 × (-2) = -14 = P