POLINOMIO CARACTERÍSTICO

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

La matriz (A - l·I_n), donde I_n es la matriz identidad n-cuadrada y l un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

Su determinante, det (A - l·I_n) , que es un polinomio en l, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a

det (A - l·I_n) = 0

ecuación característica de A.

Ejemplo:

Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

La matriz característica será (A - l·I_n). Luego:

y el polinomio característico,

Así pues, el polinomio característico es l ² - l + 4.

Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K.

Un escalar l Î Kⁿ se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v Î Kⁿ para el que

Av = lv

Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio l. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.

Ejemplo:

Sea

y

Así pues, v₁ y v₂ son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios l₁ = 4 y l₂ = -1 de A.