Ecuaciones de parábolas

 

Ejercicio:

 Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz.

 

ˇ Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma:

(y - y0)2 = ą 2p(x - x0) ó (x - x0)2 = ą 2p(y - y0)

 

ˇ La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en una del tipo (x - x0)2 = ą 2p(y - y0)

 

ˇ 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0 Ţ 2x2 + 8x = -3y + 5 Ţ

x2 + 3x = (x + 2)2 - 4. Se sustituye en la ecuación:

 

ˇ Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.

 

ˇ Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:

 

 

ˇ Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice:

 

 

‚ Hallar los elementos de la parábola y2 - 4x + 6y + 13 = 0.

 

Resolución:

ˇ Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y:

 y2 + 6y = 4x - 13

 y2 + 6y = y2 + 2 ˇ 3y + 32 - 32 = (y+3)2 - 9.

 (y+3)2 - 9 = 4x - 13 Ţ  (y+3)2 = 4x - 4

 (y+3)2 = 4(x-1)

 

ˇ Es una parábola con vértice en el punto (1, -3).

 

vértice.

 

 

ˇ La directriz se obtiene restándole la mitad del parámetro a la abscisa del vértice:        x = 1 - 1 = 0. La directriz es el eje de ordenadas.