CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

 

Consideremos la matriz A = (aij):

 

 

1. El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

 

2. Consideremos la matriz:

 

        A1 = (a11, a12, ..., a1N)

 

y supongamos que                                             

                                                                  

       

entonces : 

rango (A) ³ rango(A 1) = 1     

 

3. Añadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

 

tal que posea un menor no nulo de la forma:

 

              

Por consiguiente,

 

rango (A) ³ rango(A 2) = 2.

 

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

 

rango (A) = 1.

 

Supongamos que rango (A) ³ rango (A2) y que i = 2 y j = 2.

 

4. Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:

 

de forma que posea un menor de orden tres de la forma:

 

Entonces:

rango (A) ³ rango (A2) = 3.

 

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:

rango (A) = rango (A2) = 2.

 

Suponiendo que rango (A) ³ rango (A3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

 

Ejemplos:

 

a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

 

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

 

  

 

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

 

  

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.

 

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

 

 

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango

(A) = 3.

 

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

 

b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 ´ 4.

 

 

 

 

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

 

 

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

 

 

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3.

 

Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas