Ejercitación con matrices

 Sean

a) ¿Qué clase de matrices son?

b) Calcular:

             - A  - B + C.

               A + B  - C.

             3A + C/2.

 

c) Calcular:

                (A · B) /C.

 

d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.

 

Resolución:

 

a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.

 

b)

 

 

 

    

 

     

 

c)

 

· Puesto que (A × B) /C = A × B × C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.

 

 

 

· Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

 

 

· Por lo tanto, la matriz inversa de C es:

 

 

· A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,

 

 

· Por último, calculamos (A×B)×C-1.

 

 

= .

 

· Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:

 

 

 

d)

 

· Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:

 

 

 

 

 

· Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene

 

 

.

 

Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

 

.

 

· Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

 

 

Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:

 

 

· Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir

AA-1 = I.

 

Procedamos a la comprobación: