Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

                                           log_a(X · Y)= log_a X + log_a Y

Demostración:

Sea log_a X = x; esto significa que a^x = X.

Sea log_a Y = y; esto significa que a^y = Y.

log_a(X · Y)= log_a (a^x · a^y) = log_a a^x+y = x + y = log_a X + log_a Y

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si X₁, X₂, X₃, ..., X_n son n números reales, positivos y no nulos,

                         log_a(X₁ · X₂ ... X_n)= log_a X₁ + log_a X₂ + ... + log_a X_n

2. Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Demostración:

Sea log_a X = x; esto significa que a^x = X

Sea log_a Y = y; esto significa que a^y = Y

3. Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

                                               log_a Xⁿ = n log_a X

Demostración:

Sea log_a X = x; esto significa que a^x = X.

                             log_a Xⁿ = log_a (a^x)ⁿ = log_a a^nx = nx = n log_a X

4. Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

Demostración:

Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.

Obsérvese que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.