Propiedades de los logaritmos
1. Logaritmo de un
producto El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de
los logaritmos de cada uno de ellos.
loga(X · Y)=
loga X + loga Y Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X. Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y. loga(X · Y)=
loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y Este resultado se puede generalizar para más de dos factores. Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales,
positivos y no nulos,
loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn 2. Logaritmo de un
cociente El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo
del numerador menos el logaritmo del denominador.
Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y
3. Logaritmo de
una potencia El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por
el logaritmo de la base de la potencia.
loga Xn = n loga X Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X.
loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X 4. Logaritmo de
una raíz El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
dividido entre el índice de la raíz.
Demostración: Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una
potencia.
Obsérvese que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo
de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha
dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una
suma o de una resta no admite desarrollo.
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