Volúmenes de sólidos

 

· Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido. Se supone, por último, que el sólido está completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente, a y b unidades de longitud del punto O.

 

· Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, es claro que V(a) = 0 y V(b) = V.

 

· Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h) - V(x) es el volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x) · h.

 

Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está infinitamente próximo a x y, por consiguiente, A(x + h) es prácticamente igual a A(x). Es por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y A(x + h) se consideró que ambas eran iguales.

 

Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) · h

 

Dividiendo entre h,

 

                                       

 

 

En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teorema fundamental del cálculo,

 

                                 

 

Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que se pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce un plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido.

 

Ejercicio: cálculo de volúmenes

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 Calcular el volumen de un cilindro de radio r  y altura h.

 

Resolución:

· Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que coincide con el eje del cilindro, y como punto de referencia O el centro de una de las bases.

 

 

· Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r . Por tanto, A(x) = pr 2.