Integración por cambio de variable (o sustitución)

 

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

 

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

 

 

 

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x ® u(x) ® u(x)m , la regla de la cadena

 

Por tanto,

                               

 

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

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Resolución:

 

 

 

 

 

Resolución:

 

 

· Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se 

por la constante (en este caso 2) que falta.

 

                    

 

 

Resolución:

 

 

       

 

 

 

Resolución:

 

 

 

 

· Se multiplica y se divide por 3:

 

       

                         

 

 

 

Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

 

                                          

 

Ejercicio:

 

Resolución:

 

 

· Se multiplica y se divide por 6:

 

 

 

 

Resolución:

 

 

Por tanto,

 

       

 

 

 

       

 

       

 

La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función

u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).

 

Por consiguiente,