Integración por sustitución

Se trata de encontrar una función x=g(t), la cual sustituida por x bajo el signo integral, convierta la integral dada en otra más sencilla (en la nueva variable t). La sustitución debe cumplir:

1 Ser derivable con derivada no nula, es decir:

2 Admitir función inversa:

Entonces se tiene que:

Los tipos más usuales de sustitución y que conducen a los mejores resultados son:

1. En funciones exponenciales, logarítmicas e inversas de trigonométricas:

Tipo de integral

Sustitución

Cálculo de elementos

2. En funciones trigonométricas:

Para integrales del tipo

Sustitución

Cálculo de los elementos

  • Si R(sen x, cos x) es impar en sen x

Hacemos cos x=t

  • Si R(sen x, cos x) es impar en cos x

Hacemos sen x=t

  • Si R(sen x, cos x) es par en sen x y cos x hacemos tg x=t

  • Si R(sen x, cos x) no cumple ninguna de las características anteriores hacemos

3. En funciones irracionales:

Tipo de integral

Sustitución

Cálculo de los elementos

con a>0

con c>0

con r y s raíces del radicando

(binomia)

si p es entero

siendo s el denominador de la fracción p y si (m+1)/n es entero

siendo s el denominador de p y si (m+1)/n+p es entero