INTEGRAL DE RIEMANN

 

Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo

[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número M > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -M y M.

 

Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) £ f(x) para cualquier  x Î [a, b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) £ h(x) si x Î [a, b]. De todo ello resultaba que:

 

                

 

En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) £ f(x) £ h(x) cuando x Î [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla

 

                                       

 

para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) £ f(x) £ h(x) si

x Î [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.

 

 

y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.

 

 

Significado de la integral definida de una función

 

· Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe su por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

 

· Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función quedaría por debajo del eje de abscisas.

 

En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que

 

                              

 

el área de la región que determina una función negativa es:

 

                                         

 

Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si la función escalonada es negativa.

 

 

· Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].

 

En la figura adjunta, se ve claramente que:

                                  

 

 

                               

 

 

 

La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir si una función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se omite por escapar de los objetivos de este libro.

 

 

Teorema

Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

 

Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es

Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua.

 

Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].