Integración de Racionales

1.El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x)

Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que:

P(x)=Q(x)C(x)+R(x)

Si R(x)=0 la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos:

La integral se descompone en dos:

Si la división es exacta, la integral ha quedado reducida a una inmediata de tipo potencial, si no lo es actuaremos como se explicará en el caso B.3.

2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x):

Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a:

La 1* inmediata y la segunda la estudiaremos en el caso B.2.

3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x):

Seguimos el siguiente proceso:

  • Obtenemos las raíces del polinomio denominador Q(x).y éstas pueden ser:

3.1. Raíces reales simples.

3.2. Raíces reales múltiples.

3.3. Raíces complejas simples.

3.4. Raíces complejas múltiples.

 

3.1. Raíces reales simples:

a) Podemos poner la integral racional así:

b) Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma:

c) Obtenemos los coeficientes Ai expresando ambos miembros de la igualdad anterior en común denominador que será Q(x) y utilizando el método de identificación de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte.

d) Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano.

Ejemplo:

Hacemos:

Quedando la integral:

3.2. Raíces reales múltiples:

Si Q(x) es de grado n y sus raíces son r1, r2,...rm con órdenes de multiplicidad s1, s2,...sp (verificándose que s1+s2+...+sp=n). Se tiene que el radicando se puede descomponer así:

Es decir, de cada raíz múltiple con orden de multiplicidad s, obtenemos s+1 fracciones simples. Por identificación de coeficientes obtenemos las constantes y de ahí la integral queda recducida a inmediata:

Ejemplo:

El radicando se descompone así:

Quedando la integral:

3.3. Raíces complejas simples:

Supongamos el caso particular, para fijar ideas, de que el polinomio Q(X) fuese de 5: grado y sus raíces fuesen x=r1 (raíz real simple), x=r2 (raíz real de orden de multiplicidad 2) y x=a+bi, x=a-bi (raíces complejas simples conjugadas). Q(x) quedaría descompuesto así:

Los dos últimos términos pueden expresarse así:

Y la descomposición de Q(x) quedaría así:

Si sacamos 1/a0 fuera de la integral, el coeficiente principal de Q(x) es uno.

En la descomposición de en fracciones simples las fracciones correspondientes a la raíz real simple y a la múltiple ya las hemos tratado en puntos anteriores. En cuanto a las raíces complejas simples obtendríamos, en el numerador un polinomio completo de primer grado Mx+N y en denominador la expresión (x-a)2+b2. Resolvamos una integral de este tipo:

Calculemos ahora I1 e I2

Y para la integral I tenemos:

Y para esta última integral nos queda:

Con lo cual finalmente queda:

Con lo que el problema está ya resuelto:

Ejemplo:

Las raíces del denominador son:

Quedando el radicando:

Con lo que:

3.4. Raíces complejas múltiples:

Aplicaremos el método de Hermite, descomponemos P(x)/Q(x) de la siguiente manera:

  • Las raíces reales simples se descomponen como en el apartado B.3.1.
  • Las raíces reales múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad)
  • Las raíces complejas simples se descomponen como en el caso B.3.3.
  • Las raíces complejas múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad).
  • Se añade un término característico llamado de Hermite que se forma como:
    1. La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raíces reales múltiples y las raíces complejas múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
    2. Se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio del denominador
  • Se deriva este último término con relación a x
  • Se expresan ambos términos con el común denominador Q(x).
  • Se calculan los coeficientes indeterminados.
  • Se integra la expresión resultante.

Ejemplo:

El denominador tiene una raíz real simple x=1 y dos raíces complejas dobles

El denominador pues, puede ser descompuesto así:

La descomposición de Hermite es:

Identificando coeficientes tenemos:

De donde

De donde resulta el sistema:

Que resuelto da:

Y la integral pedida queda: