Integración por descomposición

 

Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:

 

· Primera propiedad de las integrales

 

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

 

Esto es,

                   

                   

 

Demostración:

 

 

 

Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de

f(x) - g(x), ya que:

 

                        (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

                        (F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)

 

Por tanto,

       

                               

Análogamente,

                               

 

· Segunda propiedad de las integrales

 

La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

 

Es decir,

 

                               

 

Demostración:

 

 

Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de

k · f(x). Por tanto,

 

       

                         

 

Ejercicios:

 

Resolución:

 

 

 

son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

 

En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.

Así,

 

Por consiguiente,

 

 

Resolución:

 

                                        = - cos x - 3 In |cos x| + C

                                 

 

 

Resolución:

 

· Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:

 

· Así,

       

                           

 

 

Resolución:

 

(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)

 

 

· Aplicando la propiedad distributiva del producto:

 

       

 

· Entonces,

       

                               

                               

 

 

Resolución:

 

· Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

 

       

 

· Por tanto,

 

 

       

                                  

                                  

                                  

 

 

 

Resolución: