APLICACIONES DE LA INTEGRAL

 

Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse

 

Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ³ g(x), entonces

 

                                          

 

representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.

 

En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:

 

 

 

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:

 

· Se trazan las curvas.

 

· Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.

 

· Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

 

· Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.

Para calcular su área se procede así:

 

                                     

 

Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de C.

 

                 

 

(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:

 

 

 

Ejercicios:

 Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y g(x) = x.

 

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

 

 

 

2. Puntos de corte de las dos curvas:

 

 

3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo que determinan la recta

y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere calcular, es evidente que

 

                                               S = A - B

 

 

                  

 

El área también se podría haber calculado así:

 

                                 

 

 

‚ Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 y

g(x) = x2 - 2x.

 

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

 

 

 

· Máximos y mínimos de f(x):

                         

 

· Máximos de mínimos de g(x):

                         

 

2. Puntos de corte de f(x) y g(x):

 

 

                                        Puntos (0, 0) y (4,8)

 

3. Se ha de calcular el área de la zona rayada.

Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es:

 

   

 

 

ƒ Calcular el área del círculo de radio r .

 

Resolución:

· Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r:

 

· Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema, se calculará el área del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante. El área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante es y = pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se deduce que el área del círculo es:

 

                                       

 

· Para resolver esta integral se hace el cambio de variable

x = r sen t   dx = r · cos t

Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue: