Reducción de la ecuación de la hipérbola

Sea una ecuación de la forma Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 en la que A y B tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de una hipérbola.

 

 

Ejercicio:

 Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x2 - 9y2 - 8x + 36y + 4 = 0.

Hallar su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas.

 

Resolución:

· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:

 

(4x2 - 8x) - (9y2 - 36y) + 4 = 0

4(x2 - 2x) - 9(y2 - 4y) + 4 = 0

 

· Se completan cuadrados en los paréntesis:

 

x2 - 2x = x2 - 2 · 1x + 12 - 12 = (x - 1)2 - 1

y2 - 4y = y2 - 2 · 2y + 22 - 22 = (y - 2)2 - 4

 

· Se sustituye en la ecuación:

 

4(x - 1)2 - 4 - 9(y - 2)2 + 36 + 4 = 0

4(x - 1)2 - 9(y - 2)2 = 4 - 36 - 4 = -36

 

· Se divide entre -36:

 

 

 

 

· Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y sus semiejes son a =  = 2 y b =  = 3

 

· Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) y (1, 4).

 

 

 

· Asíntotas:

 

       

                                       

 

‚ Hallar los elementos de la hipérbola x2 - y2 + 2x + 4y - 12 = 0

 

Resolución:

 

· (x2 + 2x) - (y2 - 4y) - 12 = 0

 

x2 + 2x = x2 + 2 · 1x + 12 - 12 = (x+1)2 - 1

 

y2-4y = y2 - 2 · 2y + 22 - 22 = (y -2)2 - 4

 

(x + 1)2 - 1 - (y - 2)2 + 4 - 12 = 0

 

(x + 1)2 - (y - 2) = 1 - 4 + 12 = 9

 

 

 

· Se trata de una hipérbola con centro en (-1, 2), eje real horizontal, y semiejes

a = 3,  b = 3  (este tipo de hipérbolas que tienen iguales sus semiejes se llaman hipérbolas equiláteras).

 

· Los vértices son los puntos (-4, 2) y (2, 2).

 

 

 

· Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida:

 

 

                                Þ (x + 1)2 = (y - 2)2 Þ x + 1 = ±(y - 2)

                   

x + 1 = y - 2 Þ y = x + 3

x + 1 = -y + 2 Þ y = 1- x