ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

 

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

 

Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

 

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.

 

Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas

Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.

 

Una vez conseguido, se aplica la equivalencia

 

log A = log B Û A = B,

 

deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

 

 

Ejercicio:

 Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).

 

Resolución:

 

log x2 = log 10 + log ( x - 0' 9)

 

log x2 = log [10 (x - 0' 9)] Þ x2 = 10 (x - 0' 9)

 

x2 = 10x - 9 Þ x2 - 10x + 9 = 0

 

 

Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1

 

 

Resolución:

 

 

 

x no puede ser cero pues no existe log 0

 

La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.

 

 

Ejercicio: ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos.

 Resolver la ecuación 2x = 57.

 

Resolución:

 

Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57

            

 

 

Resolución:

 

Tomando logaritmos en ambos miembros,

 

 

 

 

 

ƒ Resolver 43x = 8x + 6.

 

Resolución:

 

· Expresando 4 y 8 como potencias de dos (22)3x = (23)x + 6.

 

· Esta ecuación puede escribirse como (23x)2 = 23x + 6.

 

· Haciendo el cambio 23x = y, la ecuación se escribe y2 = y + 6.

 

Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.

 

 

Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2

 

Para y1 = 3,  23x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,

 

 

Para y2 = -2, 23x  = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 23x es siempre positivo.

 

 

Ejercicio:

 

Resolución:

 

10 y4 = 105 Þ y4 = 104 Þ y = 10      (El resultado y = -10 no tiene sentido.)

 

Como x = 10y Þ x = 10·10 = 100

 

 

 

Resolución:

 

 

(20 + y) y = 100 Þ 20y + y2 = 100