ECUACIONES BICUADRADAS

 

        Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar en la forma

 

                                ax4 + bx2 + c = 0, 

 

        donde  a,  b  y  c  son tres números reales.

 

        Para resolver una ecuación bicuadrada se hace el cambio de variable  x2 = y,  por lo tanto,  x4 = (x2)2 = y2.

 

        La ecuación expresada en función de  y  es:  ay2 + by + c = 0.  Una vez resuelta esta ecuación se sustituyen sus soluciones en  x2 = y,  obteniéndose así las soluciones

para  x.

 

   Pasos a seguir para resolver una ecuación bicuadrada

 

        1. Hacer el cambio  x2 = y,  obteniendo la ecuación  ay2 + by + c = 0.

 

        2. Resolver la ecuación  ay2 + by + c = 0,  obteniéndose las soluciones  y1, y2.

 

 

                                 

 

        Si la ecuación  ay2 + by + c = 0  tiene dos soluciones positivas, la ecuación inicial

ax4 + bx2 + c = 0  tiene cuatro soluciones.

 

        Si la ecuación  ay2 + by + c = 0  tiene una solución positiva, la ecuación inicial

ax4 + bx2 + c = 0  tiene dos soluciones.

 

        Si la ecuación  ay2 + by + c = 0  no tiene soluciones positivas, la ecuación inicial

ax4 + bx2 + c = 0  no tiene solución.

 

 

Ejercicio: ecuaciones bicuadradas

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1. Resolver la ecuación x4 - 29x2 + 100 = 0.

 

Resolución:

 

1. Haciendo el cambio  x2 = y,  se tiene la ecuación  y2 - 29y + 100 = 0.

 

2. Resolviendo esta ecuación se tienen las soluciones:

 

 

3. Las soluciones de la ecuación  x4 - 29x + 100 = 0  son:

 

 

 

Las soluciones son  5,  -5,  2,   y   -2.

 

2. Resolver la ecuación x4 - 4x2 - 12 = 0.

 

Resolución:

 

1. Haciendo el cambio  x2 = y,  se tiene la ecuación  y2 - 4y - 12 = 0.

 

2. Las soluciones de esta ecuación son:

 

Las soluciones de la ecuación de partida son: