ECUACIÓN DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA

 

        Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos.

 

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son:

 

 

        Esta última ecuación parece, a simple vista, de primer grado, pero si se opera en ella,

x + 1 = 2x (x - 1) Û x + 1 = 2x2 - 2x,  se observa que es una ecuación de segundo grado.

 

        Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma  ax2 + bx + c = 0,  donde  a,  y  b  son los coeficientes de los términos  x2  y  x respectivamente y  c  es el término independiente.

 

   Ecuación de segundo grado completa

 

        Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero.

 

        La expresión de una ecuación de segundo grado completa es  ax2 + bx + c = 0.

 

    Ecuación de segundo grado incompleta

 

        Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  ó  c,  o ambos, son cero.

 

        (Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)

 

        La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

 

        ax2 = 0;   si    b = 0    y    c = 0.

 

        ax2 + bx = 0;    si    c = 0.

 

        ax2 + c = 0;    si    b = 0.

 

 

        Para transformar una ecuación cualquiera de segundo grado en la forma ax2 + bx + c =  0, se siguen, si procede, los siguientes pasos:

 

        1. Se quitan paréntesis, teniendo en cuenta el signo que les precede.

 

2. Se quitan los denominadores multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los mismos.

 

        3. Se pasan todos los términos de la ecuación al mismo lado del signo =.

 

        4. Se reducen los términos semejantes.

 

        5. Se ordenan los términos según el orden decreciente de los exponentes de  x:

        ax2 + bx + c = 0.

 

        Una vez obtenida esta expresión, si la ecuación puede simplificarse, porque todos sus coeficientes sean múltiplos de algún número, debe hacerse, con el fin de facilitar las operaciones posteriores.

 

        Si el término en  x2  fuese negativo, se multiplicaría toda la ecuación por -1, obteniéndose así otra ecuación equivalente con el término de mayor grado positivo.

 

 

Ejercicio:

        1. Expresar la ecuación  3x2 - 2x + 1 = 5  en la forma  ax2 + bx + c = 0,   indicando los valores de los coeficientes  a,  b  y  c.

 

Resolución:

 

        1. Se pasan todos los términos al mismo lado del signo =, y se reducen los términos semejantes:

 

        3x2 - 2x + 1 - 5 = 0 è 3x2 - 2x - 4 = 0

 

        a = 3  es el coeficiente del término en  x2.

 

        b = -2  es el coeficiente del término en  x.

 

        c = -4;  es el término independiente.

 

La ecuación es completa. Ninguno de sus coeficientes es cero.

 

 

        Resolución:

 

        1. La  x  que está dividiendo en el primer miembro pasa a multiplicar al segundo:

15 = (8 + x) × x

 

        2.  Se quitan paréntesis:  15 = 8x + x2.

 

        3. Se pasan todos los términos al mismo miembro y se ordenan:

   15 - 8x - x2 = 0 Þ -x2 - 8x + 15 = 0.

 

        4. Si en lugar de pasar los términos al primer miembro, se pasan al segundo, la     

    ecuación resultante es:

    0 = x2 + 8x - 15,  ecuación equivalente a la anterior.

    En la ecuación -x2 - 8x + 15 = 0,    a = -1;    b = -8    y    c = 15

    En la ecuación  x2 + 8x - 15 = 0,    a = 1;    b = 8    y    c = -15

    Los coeficientes son iguales pero de signos contrarios.

    Para pasar de una ecuación a otra basta con multiplicar por -1.

 

        3 Expresar en la forma  ax2 + bx + c = 0, la ecuación

 

 

 

        Resolución:

 

        1. Se quitan paréntesis:

 

 

 

        2. Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30

        15(3x + 3) - 10(2x - 2) = 6(x2 + 2x + x + 2);

        45x + 45 - 20x + 20 = 6x2 + 12x + 6x + 12);

        45x + 45 - 20x + 20 - 6x2 - 12x - 6x - 12 = 0.

 

        3. Se reducen términos semejantes: 7x - 6x2 + 53 = 0

 

        4. Se ordena la ecuación resultante: -6x2 + 7x + 53 = 0.

 

            Esta ecuación también puede expresarse así:  6x2 - 7x - 53 = 0.