Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

 

A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones.

 

El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Éste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:

 

1. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución.

 

2. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución.

 

El primer caso puede dividirse en dos:

 

a) que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución;

 

b) que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones.

 

Sea un sistema no homogéneo:

 En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:

 

 

y el sistema será compatible cuando:

 

rango (A) = rango (A b),

 

lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

 

Si el sistema anterior es compatible y

 

rango (A) = rango (A b) = número de incógnitas,

 

el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una única solución.

 

Si, por el contrario, tenemos que

 

rango (A) = rango (A b) < número de incógnitas,

 

el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

 

Si rango (A) ¹ rango (A b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

 

Ejemplos:

 

Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

 

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

Puesto que rango (A) = 1 ¹ rango (A b) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solución.

 

 

 

 

   

 

 

 

Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una única solución.

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones.

 

 

Ejercicio:

  Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

 

 

 

a)

   

 

Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b):

 

El rango de la matriz A será:

 

 

 

El rango de la matriz ampliada (A b):

 

 

Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = número de incógnitas,

 

el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una única solución.

 

Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:

 

Calculamos el det (A):

 

 

 

Aplicando la regla de Cramer:

 

 

 

 

 

        x = 68/23; y = -53/23; z = -42/23.