DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

 

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.

 

Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

 

 

                                       

 

 

Diferencial de una función en un punto

 

Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,

 

                                              dy = df(x) = f'(x) · h

 

Propiedades de la diferencial

 

Primera propiedad:

 

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

 

Segunda propiedad:

 

Al ser dy = f ' (xh = , la diferencia de una función en un punto es el incremento  (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

 

Tercera propiedad:

 

Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y

 

Cuarta propiedad:

 

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a

cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

 

 

Ejemplos:

 Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.

 

Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre

 

Resolución:

· Diferenciando la expresión s = 5t2 + t,

 

          ds = (10t + 1) · dt

 

 

· Sustituyendo en la expresión de ds,

 

 

· En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

 

                

 

Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm

 

‚ Calcular 3,052.

 

Resolución:

Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2.

 

Diferenciando esta función, dy = 2x dx.

 

Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy.

 

En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05

 

                                     dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30

 

Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30.

 

Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas!