FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

 

distintos en [- 1, 1].

 

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

       

       

                 

       

        x ¾¾® f (x) = sen x ¾¾® f-1 [f (x)] = f-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x         

 

 

Derivada de la función arc sen x

 

Si y = arc sen x = f- 1(x), aplicando f, f(y) = f(f- 1(x)) = x, es decir, sen y = x.

 

De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y  ®

 

 

 

 

                          

 

 

Derivada de la función arc cos x

 

Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x.

 

De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

 

                                 

 

 

                        

 

 

Derivada de la función arc tg x

 

La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x.

 

y = arc tg x,  x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

 

 

                         

 

 

Derivada de la función arc cotg x

 

La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x.

 

Si y = arc cotg x,  x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

 

 

                         

 

 

Derivada de la función arc sec x

 

Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.

 

y = arc sec x,  x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

 

                           1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y  (1)

 

                             

 

 

 

                                        

 

                       

 

 

 

Derivada de la función arc cosec x

 

Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,

 

                              y = arc cosec x,  x = cosec y

 

Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y  (1)