DETERMINACIÓN DEL MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

 

De las definiciones y resultados obtenidos se derivan tres métodos para la determinación de los extremos de una función.

 

1. Análisis de la función a derecha e izquierda de cada posible extremo

 

Si a es un punto en el que f'(a) = 0, se toma un número h suficientemente pequeño y se calculan los valores f(a + h) y f(a - h):

 

a) Si los dos son menores que f(a), hay un máximo en a.

b) Si ambos son mayores que f(a), en a hay un mínimo.

c) Si uno de ellos es mayor que f(a) y el otro menor, no hay extremo.

 

Ejercicio:

 Encontrar los extremos de la función y = x2.

 

Resolución:

 

· Puesto que la ecuación y' = 2x = 0 tiene como solución x = 0, de haber algún extremo éste se encuentra en el punto (0,0).

 

 

Por tanto en el punto (0,0) hay un mínimo.

 

‚ Hallar, si existen, los extremos de la función y = x3.

 

Resolución:

 

· La solución de y' = 3x2 = 0 es x = 0

 

 

 

Se concluye que la función y = f(x) = x3 no tiene extremos relativos.

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2. Análisis de la derivada a derecha e izquierda del posible extremo

 

Si a es un punto en el que f'(a) = 0, eligiendo un número h próximo a cero, puede ocurrir:

 

 

a) Si f'(a - h) es negativo y f'(a + h) es positivo,en a hay un mínimo.

Obsérvese que a la izquierda de un mínimo las tangentes a la curva tienen pendiente negativa y a la derecha tienen pendiente positiva.

 

 

 

b) Si f'(a - h) es positivo y f'(a + h) es negativo,en a hay un máximo.

La explicación de este criterio se obtiene mediante un razonamiento análogo al anterior.

 

 

 

c) Si f'(a - h) y f'(a + h) tienen el mismo signo,positivo o negativo, no hay extremo en el punto a.

 

 

Ejercicio:

 

Resolución:

 

· Por la fórmula de la derivada de un cociente,

 

                          

 

Puesto que una fracción es cero cuando su numerador es cero,

 

                                        

 

· Para un h suficientemente pequeño (ya sin especificar como en el caso anterior):

 

(el numerador y el denominador son positivos).

 

(numerador y denominador tienen signos distintos).

 

· Se observa que la derivada pasa, en un entorno del punto de abcisa 0, de ser positiva a ser negativa. Se deduce, pues, que en este punto hay un máximo relativo.

 

Como para x = 0, y = 1, el máximo de esta función está en el punto (0,1).

 

3. Análisis de la derivada segunda

 

Si f(x) es una función derivable en un entorno de a, (a - e, a + e) y f '(a) = 0,

 

a) Si f''(a) > 0, la función tiene un mínimo en a.

b) Si f''(a) < 0, la función tiene un máximo en a.

 

 

Demostración:

 

a) Por ser f''(a) > 0, la función f'(x) es estrictamente creciente en a (primera propiedad de funciones derivables).

 

                      

 

De f''( x ) < 0 en (a - e, a) se deduce (por la segunda propiedad de funciones derivables) que la función f(x) es estrictamente decreciente en cada punto de (a - e, a), es decir, es estrictamente decreciente en (a - e, a). Por tanto,

 

                             

 

 

                             

 

lo que quiere decir que en a hay un mínimo relativo.

 

b) Se probaría análogamente al caso a).

 

Ejercicio:

 Determinar los máximos y mínimos de la función y = f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x

 

Resolución:

 

· Se calcula y' y se iguala a cero, y' = 6x2 + 6x - 12 = 0

 

· La ecuación 6x2 + 6x - 12 = 0 tiene por raíces 1 y - 2.

 

· Se calcula la segunda derivada f''(x) = 12x + 6

 

Para x = 1, f'' (1) = 12 + 6 = 18 > 0. En x = 1, (1,-7), hay un mínimo.

 

Para x = - 2, f'' (- 2) = 12(- 2) + 6 = - 18 < 0. En x = - 2, (-2,20), hay un máximo.

 

‚ Dibujar la gráfica de la función

 

                                            

 

Resolución:

 

· Para cualquier valor de x, el denominador 1 + x2 > 0, es decir, no se anula. Por tanto, la función está definida para todo número real x. Dicho de otra forma, su dominio de definición es toda la recta real.

 

· La función es siempre positiva cualquiera que sea el valor de x, por tanto su gráfica quedará por encima del eje de abscisas.

 

· Posee, según se ha estudiado ya, un máximo en el punto (0,1).

 

               

 

basta estudiar la gráfica en el primer cuadrante, dibujar la curva y completar su trazado en el segundo cuadrante por simetría con respecto al primero.

 

al eje de abscisas (aunque nunca la toca).

 

Si x < 0, y' > 0 y la función es creciente en (-¥, 0].

 

Con todos estos datos el trazado aproximado de la curva es:

 

 

podría haberse dibujado de cualquiera de estas formas.

 

Esto pone de manifiesto que se necesita más información para representar con mayor exactitud una curva.