DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

 

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0 )) y (x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

 

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

 

                                    

 

 

 

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, tg ah   tiende a tg a, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

 

Esto se expresa matemáticamente así:

                         

 

Derivada de una función en un punto

 

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f'(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

 

 

 

                         

 

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Ejercicio:

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

 

Resolución:

 

· Se pide el valor de f''(1) (en este caso, x0 = 1).

 

 

 

Por tanto, f'(1) = 3.

 

Calcular la derivada de la función f(x) =  en el punto 2.

 

Resolución:

 

 

 

                                                            (conjugado del numerador)

                                                            

 

   

 

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados: