Estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Ejercicios:

1   Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

 

 

Resolución:

a) Derivabilidad en x1 = 1.

 

Se han de considerar dos casos:

 

· Si h > 0, 1 + h > 1 y en este caso f(x) = x. Por tanto:

 

 

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.

 

 

 

Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

 

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función f(x) no es derivable en x = 1.

 

b) Derivabilidad en x = 0.

 

En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.

 

               

 

 

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abcisas).

 

  2   Estudiar la derivabilidad de la función f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por

 

 

Resolución:

 

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho punto.

 

· ¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?

 

Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».

Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f'(x0 ).

 

 

Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0 )), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.