CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

 

El dominio de definición de una función; su crecimiento y decrecimiento; el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión; el estudio de concavidad y convexidad y el hallazgo de posibles asíntotas, permiten construir con tanta precisión como se desee innumerables curvas.

 

A los apartados anteriores conviene añadir el estudio de posibles simetrías que, cuando existan, simplificarán notablemente las construcciones de curvas.

 

Simetrías

· Una función se dice que es par si f(x) = f(- x).

 

Estas funciones son simétricas respecto al eje de ordenadas. Basta, pues, dibujar la curva situada a la derecha de este eje y complementarla a la izquierda por simetría.

 

 

· Una función f(x) es impar si f(- x) = - f(x).

 

Las gráficas de estas funciones tienen al origen de coordenadas por centro de simetría. La más característica de estas funciones es f(x) = x3. En efecto,

f(- x) = (- x)3 = - x3 = - f(x)

 

 

Pasos a seguir en la construcción de una curva

1. Dominio de definición de la función.

2. Simetrías.

3. Puntos de corte con los ejes.

4. Asíntotas.

5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

6. Máximos y mínimos.

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

 

 

Ejercicio:

 

Resolución:

 

1. Dominio de definición

La función está definida para todo valor de x excepto para x = 5, que anula al denominador. En consecuencia, la recta x = 5 es una asíntota vertical.

 

Las raíces de x2 - 5x + 4 = 0 son 1 y 4, por lo que x2 - 5x + 4 = (x - 1) (x - 4).

 

 

a) Si x > 1 y x < 4, tanto el numerador como el denominador son negativos, por lo que en este intervalo, (1, 4), y > 0.

 

b) Si x < 1, el numerador es positivo y el denominador es negativo.

 

c) Si x > 4 y x < 5, el numerador es positivo y el denominador negativo. En consecuencia, y < 0 en (4, 5).

Para x = 1 y x = 4 el numerador se anula y, en consecuencia, y = 0. Así, la curva pasa por los puntos (1,0) y (4,0).

 

Se pueden delimitar ya las zonas por las que pasa la curva:

 

 

2. Simetría

 

La función no es par ni impar:

 

                           

                                       

 

3. Puntos de corte de los ejes

 

Los puntos de la curva que cortan al eje Y tienen abscisa cero, luego imponiendo

 

Análogamente, los puntos de la curva situados sobre el eje X tienen ordenada cero

(y = 0). En el apartado anterior se obtuvieron los puntos (1,0) y (4,0).

 

4. Asíntotas

 

Ya se conoce la asíntota vertical calculada en el primer apartado: x = 5.

 

 

Asíntota oblicua:

 

 

En consecuencia, la asíntota oblicua es y = mx + b = 1·x + 0 = x ® y = x.

 

 

5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

 

 

Al ser el denominador de esta fracción positivo, para cualquier valor de x, basta estudiar la variación de los signos en el numerador.

 

a) Si x > 7, (x - 7) (x - 3) > 0. En este caso y' > 0 y la función es creciente

en (7, +¥).

 

b) Si x > 3 y x < 7, (x - 7) (x - 3) < 0; entonces y' < 0 y la función es decreciente.

 

 

6. Máximos y mínimos

 

Si x = 7 - h, y' < 0.   Si x = 7 + h, y' > 0, luego la derivada de la función en el punto 7 pasa de negativa a positiva por lo que en x = 7 hay un mínimo.

 

De la misma forma, si x = 3 - h, y' < 0;   si x = 3 + h, y' < 0, lo que indica que en

x = 3 hay un máximo, ya que la derivada en dicho punto pasa de positiva a negativa.

 

 

Para x = 3, f(3) = 1; el máximo es (3,1)

 

 

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

 

Los posibles puntos de inflexión se obtienen de las soluciones de la ecuación

 

                                      

 

y una fracción es cero cuando su numerador es cero.

 

Puesto que el numerador es 8 y no puede valer nunca cero, la anterior ecuación no tiene solución y la curva no tiene puntos de inflexión.

 

 

Si x > 5, (x - 5)3 es positivo y, por consiguiente,

 

                                       

 

y la curva es, en este intervalo, convexa.

 

Por el contrario, si x < 5, (x - 5)3 es negativo y

 

                                       

 

 

Teniendo en cuenta todos estos resultados, la gráfica de la función es:

 

Dibujar la gráfica de la función y = f(x) = 2x3 - 3x2

 

Resolución:

1. Dominio de definición

Esta función está definida para todo valor de x.

 

2. Simetrías

No es una función par ni impar, pues f(- x) = 2(- x)3 - 3(- x)2 = - 2x3 - 3x2

 

                                    

 

3. Puntos de corte con los ejes

y = x2(2x - 3).

Si y = 0, x2(2x - 3) = 0, obteniéndose como soluciones x = 0 y x = 3/2.

La curva pasa por los puntos (0,0) y (3/2,0).

Si x = 0, y = 0, punto que ya se tenía.

 

4. Asíntotas

Al no tener denominador no tiene asíntotas verticales.

 

ningún valor de la pendiente.

 

5. Crecimiento y decrecimiento

y' = f'(x) = 6x2 - 6x = 6x(x - 1)

Si x > 1, y' > 0 y la función es creciente ® creciente en (1, ¥).

Si x > 0 pero x < 1 , y' < 0 y la función es decreciente ® decreciente en (0, 1).

 

6. Máximos y mínimos

Resolviendo la ecuación f'(x) = 6x(x - 1) = 0, se obtienen como soluciones x = 0 y x = 1.

 

La derivada segunda es f''(x) = 12x - 6.

 

f''(0) = - 6 < 0 por lo que en x = 0 hay un máximo.

f''(1) = 12 · 1 - 6 = 6 > 0 y en x = 1 hay un mínimo.

Para x = 0, y = f(0) = 0, y el máximo es (0,0).

Para x = 1, y = f(1) = 2 · 13 - 3 · 12 = - 1; el mínimo es (1,- 1).

 

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Igualando a cero la segunda derivada, f''(x) = 12x - 6 = 0, se obtiene la solución

 

Hay que comprobar si es o no punto de inflexión.

 

           

           

 

 

 

 

Puesto que f''(x) = 12x - 6 = 6(2x - 1), f''(x) es positiva si lo es 2x - 1 y negativa cuando lo sea 2x - 1.

 

Después de este estudio puede dibujarse la curva.

 

 

ƒ Dibujar la gráfica de la función y = f(x) = (x + 2) (x - 1)2

 

Resolución

 

1. Dominio de definición

 

La función está definida para todo valor de x.

 

2. Simetrías

 

f(- x) = (- x + 2) (- x - 1)2 = (- x + 2) (x2 + 2x + 1) = - x3 + 3x + 2

 

f(x) = (x + 2) (x2 - 2x + 1) = x3 - 3x + 2

 

- f(x) = - x3 + 3x - 2

 

f(x) ¹ f(-x). La curva no es par.                       f(-x) ¹ -f(x). La curva no es impar.

 

3. Puntos de corte con los ejes

 

Si x = 0, y = (0 + 2) (0 - 1)2 = 2. La curva pasa por el punto (0,2).

 

4. Asíntotas

 

No tiene asíntotas verticales.

 

 

 

 

5. Crecimiento y decrecimiento

 

y' = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1)

Para que y' > 0 debe ser x2 -1 > 0

Para que y' < 0 debe ser x2 -1 < 0

La curva es decreciente en (-1,1).

 

6. Máximos y mínimos

 

f''(x) = 6x.

Si x = 1, f''(1) = 6 · 1 = 6 > 0, hay un mínimo en el punto (1, 0).

Si x = - 1, f''(- 1) = 6 · (- 1) = - 6 < 0, hay un máximo en el punto (-1, 4).

 

7. Concavidad y convexidad

 

 

8. Puntos de inflexión

 

 

f''(0 + h) = f''(h) = 6h > 0

 

f''(0 - h) = f''(- h) = 6 · (- h) = - 6h < 0

 

La curva pasa de cóncava a convexa: en x = 0 hay punto de inflexión.

 

Si x = 0, f(x) = 2. El punto de inflexión es (0,2).