Intersecciones de una cónica con una recta

 

Para calcular la intersección de una cónica con una recta se ha de resolver un sistema de ecuaciones, que dará lugar a una ecuación de segundo grado (ax2 + bx + c = 0). Al resolver esta ecuación, se obtienen resultados distintos dependiendo del valor que tome el discriminante (D = b2 - 4ac):

 

· Si el discriminante es negativo (b2 - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales; sus dos soluciones son números complejos conjugados), el sistema no tiene solución. La recta no corta a la cónica y se dice que es exterior a ella.

 

· Si el discriminante es nulo (b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales), la recta corta a la cónica en un solo punto. En este caso se dice que la recta es tangente a la cónica.

 

· Si el discriminante es positivo (b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas), la recta tiene dos puntos comunes con la cónica. Entonces se dice que la recta es secante a la cónica.

 

Ejercicio:

 Hallar los puntos de intersección de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse

2x2 + 3y2 - 4x + 6y - 9 = 0.

 

Resolución:

x = -y - 1

 

2(-y - 1)2 + 3y2 - 4(-y - 1) + 6y - 9 = 0

5y2 + 14y - 3 = 0

 

 

 

 

‚ Trazar una tangente vertical a la cónica x2 - y2 + 2x + y - 2 = 0.

 

Resolución:

 

· Las rectas verticales son de la forma x = k

 

· Sustituyendo este valor en la ecuación:

 

k2 - y2 + 2k + y - 2 = 0,

-y2 + y + (k2 + 2k - 2) = 0

 

· Su discriminante es

 

b2 - 4ac = 1 - 4 (-1) (k2 + 2k - 2) = 1 + 4k2 + 8k - 8 = 4k2 + 8k - 7

 

La condición para que la recta sea tangente es que dicho discriminante sea nulo:

4k2 + 8k - 7 = 0

 

 

Las tangentes verticales son:

 

 

ƒ Hallar las rectas tangentes a la curva y2 = 4x que contengan al punto (-1, 0).

 

Resolución:

· Cualquier recta que contenga a dicho punto tiene una ecuación de la forma  y = m(x + 1), donde m es la pendiente.

 

· Sustituyendo en la ecuación de la parábola:

 

m2(x + 1)2 = 4x Þ m2x2 + 2m2x + m2 = 4x Þ

Þ m2x2 + (2m2 - 4)x + m2 = 0

 

· El discriminante es

 

(2m2 - 4)2 - 4m2 · m2 =

= 4m4 - 16m2 + 16 - 4m4 = -16m2 + 16

 

· La recta será tangente si este discriminante es nulo:

 

-16m2 + 16 = 0 Þ 16m2 = 16 Þ

Þ m = ±1

 

· Las tangentes buscadas son:

 

y = x + 1 e y = -(x + 1)