NÚMEROS COMPLEJOS

 

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.

 

Si bien esto no era un problema excesivamente grave en la época en que se observó, un ingenioso método ideado por Jerónimo Cardano (1501-1576) para la resolución de las ecuaciones de tercer grado precisaba resolver cualquier tipo de ecuaciones de segundo grado, para su aplicación.

 

Esto dio lugar a que se admitieran también las raíces cuadradas de los números negativos llamándolas «números imaginarios». Casi un siglo tuvo que pasar para que se hiciese un estudio completo de los mismos, llegándose a lo que hoy se llama el cuerpo de los números complejos.

 

El teorema más importante que existe sobre los números complejos es el «Teorema Fundamental del Álgebra», demostrado por Carl Friederich Gauss (1777-1855) que dice que cualquier polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz compleja.

 

Se llama unidad imaginaria a un ente abstracto i , al que se le atribuye la propiedad de que su cuadrado es -1: i 2 = -1.

 

Añadiendo este elemento al cuerpo de los números reales, se tiene una solución para la ecuación x2 + 1 = 0, pero ocurre que ya no se dispone de un procedimiento para calcular la suma y el producto de dos elementos de la estructura así obtenida.

 

Para que se puedan hacer multiplicaciones, es preciso que dado un número real b y la unidad imaginaria i  exista el producto bi .

 

Además para que estos números puedan sumarse con los números reales es preciso también que, dado un número real a exista el elemento a + bi .

 

Esto da lugar a un conjunto de expresiones a las que se denominará números complejos.

 

Un problema que vale la pena plantearse es si podrá ocurrir que dos expresiones distintas den el mismo resultado. La respuesta es negativa.

 

Si a + bi = c + di  se tendría que a - c = (d - b)i . Elevando al cuadrado:

 

Como el primer miembro es mayor o igual que 0 (por ser un cuadrado) y el segundo es menor o igual que 0 (por ser un cuadrado cambiado de signo) se tiene que ambos han de ser nulos. Por tanto:

 

                                          

 

                                          

 

Las expresiones son así las mismas.

 

Nótese que hasta ahora se ha hecho uso de las propiedades propias de un cuerpo para ciertas expresiones que no se ha demostrado que lo constituyan. Teniendo en cuenta que tampoco se ha dado una definición correcta de lo que son los complejos, esto podría servir para justificar el porqué de la definición.

 

Tampoco se ha comprobado que con las expresiones de la forma a + bi se puedan hacer todas las sumas y todos los productos posibles.

 

Para que se verifiquen las propiedades de cuerpo es interesante observar que ha de ser:

 

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i , que es otra expresión del mismo tipo.

 

Para el producto sería (a+bi ) + (c+di ) = ac + bci  + adi + bdi 2 = (ac-bd) + (ad+bc)i , que de nuevo es una expresión de la forma dada.

 

Parece pues razonable dar la siguiente definición:

 

Se llama número complejo a cualquier expresión de la forma a + bi, siendo a y b números reales.

 

 

 

Igualdad de números complejos

Dos números complejos a + bi  y c + di  son iguales si a = c y b = d .

 

 

Parte real y parte imaginaria de un número complejo

Dado el complejo z = a + bi , el número a recibe el nombre de parte real  de z y b se llama parte imaginaria de z. Se representan por Re(z) e Im(z) respectivamente.

 

Si un número complejo tiene una de sus partes (real o imaginaria) igual a cero, ésta no suele escribirse. Así, se escribirá a en lugar de a + 0i  y también bi  en lugar de escribir 0 + bi .

 

Se puede considerar que los números reales son los números complejos cuya parte imaginaria es 0. Los números complejos cuya parte real es 0 suelen recibir el nombre de imaginarios puros.