LA INTEGRAL DEFINIDA

 

 

El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.

 

 

Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.

 

 

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.

 

 

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.

 

 

Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.

 

 

Calculando estas áreas se obtiene:

 

                   

 

Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.

 

 

Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.

 

 

 

Área por defecto:

 

       

 

Área por exceso:

 

                      

 

 

 

                   

 

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

 

           

 

 

            Además,

                           

 

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.