PROBLEMAS DE TORNEOS CABRI

nivel B

1

Dado un triángulo ABC construir un cuadrado cuyo perímetro sea igual al perímetro del triángulo.

2

Construir la siguiente figura, donde ABCD es un cuadrado; el lado del triángulo equilátero es igual al diámetro de la circunferencia y DE = DH.

3

En la figura anterior, calcular la medida del ángulo Ð EFG. Justificar.

4

Dado un cuadrilátero convexo ABCD, construir un triángulo EFG, de manera que ambos polígonos tengan igual superficie; y uno de los ángulos del triángulo mida 45°.

5

Construir un triángulo ABC, de manera que si D es el pie de la altura correspondiente al lado AC y E es el pie de la altura correspondiente al lado AB, entonces CE mida las tres cuartas partes de lo que mide BC, y el ángulo Ð DBC mida 30°.

6

Sea ABC un triángulo y sean r y t las bisectrices de los ángulos Ð A y Ð B respectivamente. La recta que pasa por los puntos medios de AC y BC interseca a r y t en M y N respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscripta al triángulo CMN pasa por el incentro de ABC.

7

Sea ABC un triángulo y P un punto sobre AB. Sea M el punto medio de CP y sea N el punto medio de MA. Hallar el lugar geométrico de N a medida que P se mueve sobre el segmento AB.

8

Dado un triángulo PQR construir una circunferencia C que cumpla con las siguientes condiciones:

  • C pasa por R y es tangente a PQ.
  • Si D es la intersección entre C y PR (distinta de R) y E es la intersección de C y QR (distinta de R) entonces DE // PQ.

9

Construir un triángulo ABC que cumpla con las siguientes condiciones:

  • Si D es el pie de la altura desde A entonces 2(AB + BD) = 3(DC + CA)
  • Ð B = 30°

10

Construir el triángulo ABC dados: N, el punto medio de AB, el punto medio de AC y un punto P en BC tal que 2PB = PC.

11

Sea ABCD un cuadrado de lado 1. Sea ACF un triángulo equilátero con D en su interior, y sea CDE un triángulo equilátero exterior a ABCD. Hallar la longitud de FE.

12

Se tienen 4 puntos alineados A, B, C y D, en ese orden. Sea C1 una circunferencia que pasa por A y C, y sea C2 una circunferencia que pasa por B y D. Sean E y F los puntos de intersección de C1 y C2. Sea M la intersección de las rectas AE y FB; sea N la intersección de las rectas DE y FC. Demostrar que MN // AD.

13

Sea ABCDEF un hexágono convexo tal que si una diagonal lo divide en 2 cuadriláteros, éstos tienen igual área. Demostrar que ACE y BDF son semejantes.

14

Construir el hexágono ABCDEF con todos sus ángulos de 120°, tal que FGCH sea un cuadrado y de modo que BC = CD.

15

Construir un triángulo ABC sabiendo que BAC = 60° y que si I es la intersección de las bisectrices de ABC entonces CIA = 135°

16

a) Dado un cuadrado ABCD de lado 1 construir un punto P tal que CPD = 30°, CP = DP y tal que P esté del mismo lado que A con respecto a CD.

b) Hallar la medida de AP.

17

Dados dos paralelogramos disjuntos trazar una recta tal que el área de las figuras que quedan a ambos lados de la recta sean iguales.

18

Sea ABCD un trapecio con AB // CD (con AD y BC no paralelos). Sea P un punto en BC y sea K en la recta CD tal que PK // AD. Demostrar que el área de ADK es la mitad del área de ABCD sí y solo sí P es el punto medio de BC.

19

a) Construir un hexágono ABCDEF de modo que todos sus lados midan 1 y tal que BCD = EFA = 90° y los ángulos ABC = CDE = DEF = FAB.

b) Hallar la medida de AD.

20

Sea ABC un triángulo de área 1. Sea D el simétrico de C con respecto a A, sea E el simétrico de D con respecto a B y sea F el simétrico de E con respecto a C.

a) Hallar el área de EFD.

b) Demostrar que ABC y CFD son semejantes.

21

Sea ABCD un cuadrilátero tal que ABC = 120°, BCD = 90° y CDA = 60° y además AB = 1 y CD = 2. Hallar las medidas de AD y de BC y construir la figura.

22

Sea ABCD un rectángulo. Sean APB y ADQ triángulos equiláteros exteriores al rectángulo. Demostrar que PQC es equilátero.

23

a) Construir la siguiente figura, donde ABC es un triángulo tal que Ð ABC = 90° y Ð BAC = 60°; C1 es tangente a los 3 lados del triángulo; y C2 es tangente a AB, AC y a C1

b) Si el radio de C2 es 1 hallar el radio de C1.

24

Dadas dos rectas r y t que se cortan en un punto A y un punto P que no pertenece a r ni a t, construir los puntos B y C sobre r y t respectivamente de modo que P sea la intersección de las medianas de ABC.

25

Sea ABC un triángulo con AC > AB. La paralela a AC por B interseca a la bisectriz exterior de BAC en D. La paralela a AB por C interseca a dicha bisectriz exterior en E. Sea F en el segmento AC de modo que FC = AB. Demostrar que FD = FE.

26

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y sea P un punto en el segmento CD. Por C se traza una recta paralela a BP que interseca a la recta por D paralela a AP en un punto O. Hallar el lugar geométrico de O a medida que P se mueve por CD.

27

Sea ABC un triángulo y sean P y Q sobre AC y BC respectivamente. Sean M y N los puntos medios de AP y CQ respectivamente. Sabiendo que Ð QAC = Ð QMN demostrar que los triángulos PQM y MQC son semejantes.

28

Construir la siguiente figura donde las circunferencias pequeñas tienen el mismo radio y donde cada circunferencia es tangente a otras 3.

29

Si el radio de las circunferencias pequeñas es 1 hallar el radio de la circunferencia mayor.

30

Sea ABC un triángulo P un punto en su interior tal que PA = 4 y de modo que la recta PA sea perpendicular a BC. Sabiendo que el área del cuadrilátero ABPC es 5, hallar la medida BC.

31

Sea ABCDEF un hexágono con todos sus ángulos iguales a 120° y tal que AB = 1, BC = 4, CD = 2 y FE = 3. Hallar AF y ED.

32

Sea ABCD un cuadrilátero tal que DAB + ABC = 210°, ADB = 30° y ACB = 60°. Hallar (BD + BC) / AC.

33

Construir la siguiente figura:

34

Dado un triángulo ABC, construir un hexágono que tenga la misma superficie que ABC.

35

Dadas dos circunferencias C y C', sin intersección y tal que ninguna es exterior a la otra, encontrar E y G en C y F en C' tales que la medida del ángulo EFG sea máxima.

36

Construir un pentágono ABCDE tal que, todos sus lados midan lo mismo y los ángulos ABC y AED sean rectos.

37

Sea ABCD un cuadrilátero y sean E, F, G y H los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente.

Se trazan O y L puntos medios de EC y ED respectivamente.
Se trazan N y I puntos medios de FD y FA respectivamente.
Se trazan P y K puntos medios de GA y GB respectivamente.
Se trazan J y M puntos medios de HB y HC respectivamente.

Probar que los segmentos IJ, KO, MN y LP miden lo mismo.

38

a) Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo GHI siendo G un punto en el lado AB de un hexágono regular ABCDEF, H e I pertenecientes a CD y EF respectivamente y GH // BC, GI // AF.

b) Hallar el lugar geométrico del baricentro del triángulo GHI siendo G un punto en el lado AB de un hexágono regular ABCDEF, H e I pertenecientes a CD y EF respectivamente y GH // BC, GI // AF.

39

Dado un triángulo isósceles ABC (AB = AC) sea C la circunferncia de centro O circunscripta al mismo y C’ la circunferencia de centro A que pasa por B. Sea D la intersección de la recta CO con C, E la intersección de la recta CO con C’, F la intersección de la recta CA con C’, G la intersección de la recta BA con C’, H la intersección de la recta BO con C’ y I la intersección de la recta BO con C. Hallar la relación entre el área de DEFGHI y ABC.

40

Dado un cuadrado ABCD, construir un cuadrado AEFG.

  1. Hallar el lugar geomérico de E para que AEFG sea congruente al cuadrado ABCD.
  2. Si AEFG = ABCD, probar que los puntos B, C, F y G están sobre una circunferencia.
  3. Hallar el lugar geométrico del centro de dicha circunferencia al variar E sobre el lugar geométrico obtenido en i.
  4. ¿Qué tipo de cuadrilátero es BCFG?

41

Dado un rectángulo ABCD y un punto P en AB. Sean E, F y G los baricentros de los triángulo PBC, PCD y PDA respectivamente. Hallar el área de EFG si el área de ABCD es 1998.

42

Sea ABC un triángulo equilátero de centro O. Sea M el punto medio de BC. Trazar la circunferencia de centro P (siendo P el punto de intersección entre la bisectriz de OBC y OM) tangente a AB y AC. Se trazan las rectas BE y CF tangentes a dicha circunferencia en E y F (no pertenecientes a AB y AC), formandose el cuadrilátero ABCD. Hallar los ángulos del mismo.

43

Dado un cuadrado ABCD sea E un punto AB y G un punto CD. Construir el paralelogramo EFGH con F en BC y H en DA.

44

Construir la siguiente figura formada por un hexágono regular con tres cuadrados iguales y tres triangulos equilateros iguales en su interior.

figura

45

Construir un rectángulo ABCD (en ese orden) tal que la circunferencia de centro A que pasa por B y la circunferencia de centro C que pasa por D sean tangentes entre sí.

46

Dado un triángulo genérico ABC, dividirlo en partes de forma tal que dichas partes se puedan reacomodar para formar dos rectángulos iguales, sin que sobren piezas.

47

Sea C una circunferencia de centro O y A un punto exterior a la circunferencia. Sea P un punto sobre C. Se traza la circunferencia D, de centro A que pasa por P y la recta r que pasa por O y P. La recta r corta a D en dos puntos (uno es P). Sea M el punto medio de estos dos puntos. Hallar el lugar geométrico de M al variar P sobre C.

48

Dado un cuadrilátero ABCD, construir con regla y con compás un rombo que tenga la misma superficie que ABCD (Explicar los pasos de la construcción.)