ASESINATOS Y FÓSILES
Dos días después y motivado por la exposición hecha en el 4º medio, Daniel decidió hacer la misma labor en el Plan Diferenciado de 4º, considerando que allí estaban los futuros hombres y mujeres de la matemática, en especial de la ingeniería. Con ellos los contenidos se trabajan con mayor profundidad, pero adoleciendo de la misma falta de conocimientos históricos y de aplicación que el plan común.
Buenos días mis queridos matemáticos y matemáticas –saludó Daniel con una amplia sonrisa.
Los alumnos respondieron con un “buenos días profe”, pero no hay que negar que les llamaba la atención la espontánea alegría que mostraba su maestro.
-Seguimos con la guía –preguntó Boris
-Por el momento vamos a dejar de lado el desarrollo de esa guía y vamos conversar sobre asesinatos.
-¿Cómo dijo señor? –preguntó Diana– le escuché asesinatos.
-Exactamente, eso dije –confirmó Daniel.
No cabía de gozo al ver las caras de sorpresa de sus alumnos y de cómo se acomodaban en su asiento preparándose para escuchar atentamente lo que relataría a continuación.
-Recuerdan que hace algunos días analizamos el número e –Daniel escribió en la pizarra una gran e– en el plan común dijimos que e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1 y en nuestro electivo conocimos a e como el límite de la sucesión de término general 
, y que su valor aproximado es 2,71828…, pero en ambas situaciones jamás di a conocer su utilidad práctica, que son muchas, ni tampoco les di a conocer el entorno histórico en el que se determinó. Eso quiero hacer ahora.
-O sea, algo similar a lo que se hizo en la clase de logaritmos –concluyó Boris.
-Exactamente –respondió Daniel.
Las más variadas expresiones se escucharon “qué bueno”, “que entretenido”, “esto hacia falta”, etc.
-Primero contarles que el primer estudio sistemático del número e se divulga en 1.748 con la publicación de “Introductio in Analysin Infinitorum” de Euler. En el cual por primera vez se muestra cómo una suma infinita que crece monótonamente se puede usar para definir un nuevo número real.
-Señor, ¿la letra e es por Euler? –preguntó Diana.
-Obvio, si él lo creó –le respondió Diego.
-No tan obvio Diego, se cree que la letra e fue sugerida por Euler por ser la primera letra de la palabra exponencial. Y aprovecho de contarles que el uso de la letra griega pi, se debe también en gran medida a Euler, porque aunque esta había sido mencionada en una obra antes que Euler naciera, fue él con sus populares escritos quién extendió su uso en forma universal.
-Qué interesante, eso tampoco lo sabíamos –comentó Alex.
-Y para mayor conocimiento, les agrego que la letra i, que representa a la 
, también la introdujo Euler, casi al final de su vida. Y que cuando dibujan un triángulo y designan sus lados por las letras minúsculas a, b y c; y sus vértices por A, B y C, también es por Euler.
-Soy un nuevo admirador de Euler – dijo Diana sonriendo.
-Cuando iniciamos la clase –recordó Daniel- lo hice con una palabra que es muy extraño que se utilice en una clase de matemática: asesinato. Pues ahora conoceremos cómo podemos aplicar el número e para determinar en un asesinato o en un fallecimiento por cualquier circunstancia, el momento de la muerte.
-Lo primero es explicarles que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Que no es algo que haya inventado yo
-Daniel se sonríe-, sino que corresponde a una ley de Newton sobre el enfriamiento. Por lo tanto, cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, se enfría muy rápidamente; mientras que cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría lentamente. ¿Se entiende lo que estoy explicando? –inquirió Daniel.
-Sí profe, algo de eso hemos visto en física –respondió Alex.
-Agreguemos que una persona viva no se enfría continuamente y que la temperatura del cuerpo es alrededor de los 36ºC, equivalente a 98,6ºF. Pero una persona muerta deja de producir calor y su enfriamiento sigue la ley de Newton que se aplica con la fórmula matemática siguiente:
dónde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante.
-¿Qué les parece? –preguntó Daniel.
-Muy interesante –expresó Boris. ¿Nos puede dar un ejemplo?.
-Por supuesto –respondió Daniel-, es lo que viene de acuerdo a mi planificación. La policía fue llamada por los vecinos de una población, informándole que se había encontrado un cadáver en la vía pública. Esa persona había sido asesinada de dos disparos y se sospechaba en un ajuste de cuentas entre narcotraficantes. Al tomarse su temperatura resultó de 84º F y la temperatura del aire era de 67º F. Con estos datos, la policía logró determinar el momento de su muerte.
Daniel hizo pasar a la pizarra a Diana para que hiciese los cálculos pertinentes. Y así los hizo:
Aplicando logaritmos resulta:
0,5207t·Le = L(0,5214)
0,5207t =-0,6512
=-1,25 horas =-75 minutos
-En conclusión –expresó Diana-, gracias a la ayuda del número e y los logaritmos la policía sabe que esta persona murió 75 minutos antes de las doce de la noche, es decir, a las 22:45 horas.
-¡Muy bien, Diana!, ¿Qué les parece lo que hemos visto?
-¡Espectacular! –respondió Diego.
-Ahora les daré algunos ejercicios similares para que practiquen esta interesante aplicación de la matemática. –expresó Daniel.
-Señor, no sé si tiene que ver –dijo Emilio–, pero así como se calcula el tiempo que lleva muerta una persona, ¿se podría calcular la edad de los fósiles o de los huesos desenterrados en una excavación arqueológica?
-Sí, pero no con el mismo método que se acaba de explicar. Ello se efectúa a través del procedimiento de datación por el Carbono-14 –señaló Daniel.
-Señor, ¿y en ese procedimiento también está involucrada la matemática? –preguntó Boris.
-Nunca tanto –le dijo Diana
-Parece increíble Diana, pero sí –confirmó Daniel-. El proceso de datación por Carbono-14 está relacionado con las funciones exponenciales y los logaritmos neperianos o naturales.
-¿Nos podría explicar cómo se realiza? –consultó Alex
-El carbono-14 o radiocarbono es un isótopo radioactivo del carbono. Supongo que han visto esto en química –todos asintieron con la cabeza ante la consulta de Daniel- y su característica es que se produce regularmente en la atmósfera bajo la influencia de las radiaciones solares. Tiene un período de desintegración de 5.730 años.
- Profe, qué quiere decir eso? –consultó Ignacio.
- Que a los 5.730 años de la muerte de un ser vivo el carbono-14 en los restos fósiles se ha reducido a la mitad, a los 11.460 años a la cuarta parte, a los 57.300 años es de tan solo el 0,01% del que tenía cuando estaba vivo y así sucesivamente hasta su total desaparición. – Daniel hizo una pausa para que todos interiorizaran la explicación y luego continuó-. Sabiendo la diferencia entre la proporción de carbono-14 que debería contener un fósil si aún estuviese vivo, que es semejante a la de la atmósfera en el momento en que murió, y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte de forma bastante exacta.
-¿Y cómo miden los científicos la cantidad de carbono-14 en un fósil? –preguntó Ignacio muy concentrado en el tema, actitud no muy habitual en él.
-Incineran un fragmento pequeño –explicó Daniel- para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono-14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.
-Y dónde aparecen los logaritmos? –volvió a preguntar Ignacio.
-En la fórmula que permite calcular la antigüedad de una muestra –y anotó en la pizarra:
-El símbolo Ln –señaló Daniel, explicando la fórmula– sabemos que corresponde al logaritmo neperiano, 
es el porcentaje de carbono-14 en la muestra en relación con la cantidad en el tejido vivo, donde 
corresponde al carbono-14 final del fósil y 
el carbono-14 original del tejido vivo, y 
que es el período de desintegración del carbono-14.
-Desarrollemos un ejemplo -propuso Daniel-. Tenemos un fósil con un 10% de carbono-14 en relación con una muestra viva, ¿cuál sería su antigüedad?
-¿Quién quiere pasar a hacer los cálculos? –dijo, ofreciendo el plumón de pizarra.
-Yo señor –se ofreció Boris, poniéndose de pie calculadora en mano.
-Es sólo reemplazar los valores –señalo y anotó en la pizarra:
-Muy bien, eso es todo por hoy, ha sido una clase muy provechosa y los felicito por el interés con la que la han seguido –finalizó Daniel.