TEMOR, MONEDAS, DADOS Y AZAR

  Camila llegó acelerada esa mañana. Firmó el libro de asistencia y buscó rápidamente el material que necesitaba, dirigiéndose a la sala de trabajo que le habían asignado al Departamento de Matemática.

-Hola Daniel.

-Hola, ¿qué pasa?, te noto un poco intranquila.

-Lo que pasa es que estuve anoche revisando en el programa del Mineduc y el contenido que nos corresponde, en segundo medio, como primera unidad es nada menos que probabilidad, yo pensé que venía más adelante –comentó preocupada Camila.

-Ahora te entiendo –Daniel se quedó pensativo-. Francamente es primera vez que siento temor al comenzar un año escolar. Me siento como profesor principiante y creo que tiene que ver con el poco dominio que tengo de algunos temas nuevos incorporados a los planes y programas. Como las probabilidades o las transformaciones isométricas que jamás había escuchado de ellas y menos me lo enseñaron en la universidad.

-Pues yo tengo la misma dificultad. Durante mi carrera tuve que aprender límites, derivadas, integrales dobles, triples y un montón de cosas más las cuales jamás he tenido que enseñar en la Media. Y lo más curiosos es que nunca tuve asignaturas que me preparan realmente para lo que yo iba  a tener que enseñar.

-Bueno, yo también tuve la misma situación -reconoció Daniel–,  cómo será que ni siquiera tuve geometría plana, pero dejemos de quejarnos que eso ya no tiene remedio y preparemos nuestras clases.

-Tienes razón –dijo Camila y mientras buscaba algunos apuntes, rezongó-, pero sería bueno que las autoridades educacionales, así como nos hacen involucrarnos en una Reforma, también la hagan extensiva a las universidades ya que no veo lógica a que un nivel se haga parte de un cambio tan profundo y otro no.

-Tranquila mujer, estoy seguro que eso se tendrá que dar con el tiempo. Lo importante es basarse en la orientaciones que da el Mineduc ya que eso nos permite movernos en un área cierta y segura. Recuerda que debemos explicar que uno de los conceptos fundamentales es el de variable aleatoria, que son cantidades o magnitudes susceptibles de variar azarosamente. Nos precisaban que cuando se asocia un número x con cada resultado posible de un experimento aleatorio, el número x recibe el nombre de variable aleatoria.

-Si me acuerdo –señaló Camila– incluso lo explicaron con un ejemplo, que era el experimento de escoger una manzana al azar de un árbol y pesarla. El peso será una variable asociada a cada manzana y como la manzana fue escogida aleatoriamente, su peso será una variable aleatoria.

-Y también nos aclaraban –completó Daniel- que una vez escogida una manzana específica, el peso que ella tenga no es aleatorio. Y que el mismo experimento aleatorio permite definir diferentes variables aleatorias. En lugar del peso de la manzana, podría determinarse su volumen.

-Ayer buscando material para la clase de probabilidades encontré unos apuntes que nos puede servir.

Camila cogió uno de sus apuntes y se lo pasó a Daniel el cual comenzó a leer en voz alta: “El primer libro sobre teoría de la probabilidad es "Manual sobre juegos de azar" de Girolamo Cardano alrededor de 1.550, que esta básicamente dedicada al juego del dado y que fue publicado unos cien años después de su muerte. Galileo también se interesó por los juegos de azar y escribió un folleto titulado “Descubrimientos sobre los juegos con dados” publicado en 1.718.”

-Veo que los primeros estudios están relacionados con los dados -dijo Daniel– luego lo más lógico sería partir de esa manera en clases. ¿Qué te parece?

-Muy bien –apoyó Camila– y lo podemos hacer basados en el problema del duque de Toscaza.

-¿Y de qué trata eso? –preguntó Daniel frunciendo el ceño.

-Te cuento –dijo riéndose Camila por la cara que había puesto su compañero de labores.

-El duque de Toscaza fue un jugados empedernido, especialmente con los dados y observó que en un juego en el que se tiran tres dados y se suman las pintas obtenidas, siempre se obtenía más veces 10 que 9. Lo que le extrañaba era que ambas sumas se pueden obtener siempre de 6 maneras: el 9 como 1+2+6; 1+3+5; 1+4+4; 2+2+5; 2+3+4; 3+3+3, mientras que 10 se obtiene por 1+3+6; 1+4+5; 2+2+6; 2+3+5; 2+4+4; 3+3+4.

-Muy interesante y motivante –comentó Daniel.

-Esto le fue consultado a Cardano –prosiguió Camila– pero no dio una respuesta satisfactoria y se tuvo que esperar 50 años más para que Galileo diera con la solución, considerando, por ejemplo, que 1+2+6 era distinto a 1+6+2 y a 2+1+6, etc. En conclusión, Galileo determinó que hay 25 maneras distintas de obtener 9 y 27 manera distintas de obtener 10.

-En conclusión -afirmó Daniel-, es normal que de 10 con más frecuencia que 9.

-Exactamente –apoyó Camila– y ese puede ser nuestro punto de partida en probabilidades. Es cosa de pedirles a nuestros alumnos que traigan 3 dados por grupo y que realicen algo similar al problema del duque de Toscaza.

-Excelente –exclamó Daniel y le gustó el rumbo que estaba tomando la preparación de clases.

-Otra situación que podemos considerar es el trabajo con monedas, que también tiene que ver con un error histórico –Camila buscó entre sus apuntes.

-Ese hecho es conocido como el error de D’Alembert –y se acomodó Daniel en su silla para explicarlo– Jean D’Alembert fue un famoso matemático francés del siglo 18 y que en el año 1.754 planteó el problema: ¿cuál es la probabilidad de obtener cara por lo menos una vez al lanzarse dos monedas?

-Pero yo no veo dificultad en determinar eso –expresó Camila.

-Es por que ahora ya lo tenemos muy claro, pero en ese tiempo no habían muchos estudios sobre esas situaciones. Según D’Alembert, las posibilidades eran que saliera cara en el primer lanzamiento, cara en el segundo lanzamiento o ninguna cara, por lo que tenía 3 casos posibles, de los cuales 2 eran favorables, o sea determinó que la probabilidad buscada era 2/3

-Pero eso es un error –Camila tomó un papel y escribió Cara-Cara, Cara-Sello, Sello-Cara, Sello-Sello-. O sea la probabilidad es 3/4

-Así es –confirmó Daniel– pero son los errores esperados cuando se inicia el estudio de un conocimiento, en este caso las probabilidades.

-Por lo tanto, en ese error tenemos otra actividad para hacer en clases. Podemos partir haciendo que en grupo de a dos lancen una moneda 50 veces y que anoten la cantidad de caras y sellos obtenidos, luego sumar el total de todo el curso y sacar conclusiones. Posteriormente pasar al lanzamiento de dos monedas.

-Y con eso, más algunos ejercicios que aparecen en el texto, ya tenemos cubierto lo que se refiere a la definición de probabilidad – dijo Daniel.

-Incluso podemos darle como investigación que determinen la probabilidad de ganarse el Kino.

-¡Estupenda idea! –exclamó Daniel– definiéndoles primero factorial de un número y la fórmula de combinatoria. Claro que para revisarlo posteriormente tenemos que obtener el resultado nosotros primero.

-¿Y qué esperamos? –señaló Camila sonriendo y sacando su calculadora.

-Como cada cartón tiene 15 números impresos entre los números 1 y 25, entonces debemos resolver

 =  =

=

-Simplificando y multiplicando – dijo Camila- resulta

-Esa es la probabilidad de ganar el kino –comentó satisfecho Daniel.

-Y podemos afirmar este conocimiento pidiéndoles que saquen la probabilidad de obtener 14 aciertos, 13 aciertos y 12 aciertos, ¿te parece?

-Correcto y la próxima clase la podemos iniciar con los problemas planteados por el Caballero de Meré el año 1.650.

-Estupendo y eso nos da la introducción para iniciar el estudio de la probabilidad condicionada.

-Aquí tengo el enunciado de ese problema: Dos personas, Alberto y Berta, participan en un juego donde las dos tienen la misma probabilidad de ganar. El primero que gane cinco veces cobra el premio de 4.200 francos franceses. Desgraciadamente, después de lanzar la moneda siete veces hay que suspender la contienda; en ese momento A ha ganado 4 veces y B ha ganado 3 veces. ¿Cómo tiene que dividirse el premio entre los dos jugadores?

-¡Ha sido muy provechosa la jornada! –exclamó satisfecha Camila.

-Por supuesto –afirmó Daniel– trabajando en equipo todo se hace más fácil.

-Me parece que antes no opinabas lo mismo –dijo maliciosamente Camila.

Daniel se puso de pie, sonrió y se retiró cantando: “Cambia, todo cambia…”