Los problemas de los problemas

Al día siguiente un nuevo expositor iniciaba la jornada, la profesora Javiera Echeñique, quien era famosa por sus singulares escritos sobre matemática y matemáticos, llenos de curiosidades, de comicidad de historias; fuente de motivación y una pauta pedagógica a seguir para una entretenida forma de enseñar. Saludó y de inmediato comenzó su charla.

“Unos policías ―dijo con una voz potente, pero agradable― están investigando a un grupo de delincuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar al grupo, pero no saben la contraseña. En ese momento llega un cliente, llama a la puerta y desde el interior le dicen ‘18’, el cliente responde ‘9’. La puerta se abre y él accede al interior. Los policías se miran, creen tener la respuesta, pero deciden esperar.

Llega otro cliente, golpea y desde dentro le dicen ‘8’, él responde ‘4’ y la puerta se abre. Los policías sonríen. ¡Ya lo tenemos! Un nuevo cliente llega y desde adentro le dicen ‘14’, a lo que responde ‘7’ y la puerta se abre. El jefe a cargo decide enviar a un agente. Éste llama a la puerta y desde dentro le dicen ‘0’. El policía se paraliza y después de unos breves segundos responde ‘0’. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere. Los otros policías quedan sorprendidos, pero deciden enviar a otro agente. Desde dentro se oye ‘6’ y el policía muy convencido responde ‘3’. Nuevamente los disparos y el policía muere ¿Por qué?”

―¿Qué extraño ―murmuró Daniel― estaba seguro de que se trataba de responder la mitad del número que los delincuentes dicen desde adentro.

―Pero eso no tendría mucha gracia ―respondió Camila

―Tienes razón, ¿se te ocurre algo?

―Por ahora no, pero estoy analizando ―dijo Camila.

Después de unos minutos el profesor consultó si alguien tenía la respuesta.

Camila levantó tímidamente la mano y se puso de pie para responder.

―Creo que se refiere al número de letras que tiene el número, o sea cuando le dicen 18 el cliente debe responder 9, ya que es el número de letras que tiene la palabra dieciocho. Lo mismo ocurre con 8 y 14, pero cuando le dicen “0” él debió responder “4” que son las letras que tiene el número cero. Por último, cuando dijeron 6, la respuesta también debería haber sido 4.

Un espontáneo aplauso alabó la deducción de Camila y Daniel la felicitó mostrando mucho orgullo por su colega.

―¡Excelente! ―acotó la profesora―, y para que todos tengan una nueva posibilidad les dejo planteada la siguiente situación para mañana.

―Te encuentras afuera de una habitación, con la puerta cerrada. Desde tu posición no se puede ver nada de lo que sucede al interior. Dentro de la habitación hay una ampolleta e inicialmente se encuentra apagada. Del lado de afuera de la habitación hay 3 interruptores, de los cuales sólo uno está conectado a la ampolleta. Tú, desde afuera y con la puerta cerrada, puedes accionar la cantidad de interruptores que quieras, las veces que quieras. Luego debes entrar a la habitación y al salir, sin volver a accionar los interruptores, debes estar en condiciones de afirmar cuál de los tres interruptores es el que acciona la ampolleta.

Y con esa motivadora introducción continuó la exposición.

―Podrían ustedes pensar que esto no tiene nada que ver con una clase de matemática ―señaló Javiera―, pero piensen en el momento que se inició esta charla y cómo se sienten en este instante. Les aseguro que hay curiosidad, motivación y se estarán preguntando qué vendrá ahora. Si ustedes logran que en cada inicio de clases se cree un ambiente similar, el aprendizaje que lograrán será óptimo, pero en esto es fundamental no improvisar, para ello se debe contar con una adecuada planificación basada en un buen set de problemas, curiosidades, acertijos, etc.

―También ―agregó― pueden crear un diario mural que tenga una ubicación adecuada para que todos los alumnos del colegio puedan participar de permanentes desafíos. Por ejemplo, colocar problemas de Pensamiento Lateral que son muy llamativos e interesantes. ¿Los conocen?

Todos se miraron con un signo de interrogación en el rostro y respondieron que no.

―Les voy a dar uno como ejemplo. Una niña vive en su casa con sus padres. Ellos le dijeron siempre, que por ninguna razón abriera la puerta del sótano, para que no viera algo que no tenía que ver.
Cierto día, los padres salen y se olvidan de asegurar la puerta del sótano con llave. La niña, no pudiendo resistir la tentación, aprovecha la ocasión y abre la puerta del sótano. Lo que ve, la deja perpleja, no puede creer el espectáculo que se cierne ante sus ojos. Más tarde, la policía arresta a sus padres y ponen a la niña en un lugar seguro. ¿Qué vio la niña?

Las respuestas fueron múltiples y la creatividad se hizo notar entre los participantes de la charla.

―Pero… las respuestas pueden ser muchas ―expresó Daniel.

―¡Escuchemos! ―dijo Camila―, porque la verdad es que estoy impaciente por saber qué vio la niña. Pero al final nadie llegó a la respuesta.

“El término pensamiento lateral ―prosiguió la expositora―, fue concebido por Edward de Bono para describir un tipo de pensamiento distinto al pensamiento convencional o lógico y que es una fuerza importante y necesaria para el cambio. Es una habilidad que puede permitirnos resolver problemas en casa o en el trabajo y lo importante es, que es un poder latente que todos poseemos. Puede desarrollarse mediante el entrenamiento, exigiendo sólo un cambio de actitud mental y un enfoque abierto a la solución de problemas.

En el pensamiento convencional usamos experiencias y suposiciones que parten de situaciones similares, utilizando un enfoque lógico y racional. Sin embargo, a veces este proceso deja de sernos útil. Se nos presentan límites que sólo podemos superar dejando de lado nuestras suposiciones básicas y enfocando el problema desde un ángulo completamente nuevo, allí aparece el pensamiento lateral.”

Y llegó lo que esperábamos.

“La solución del problema planteado es muy simple. Todos ustedes usaron el pensamiento lineal o vertical, considerando que la niña estaba situada fuera del sótano”. Hizo una pausa. “Error estimados colegas. Ella estaba dentro del sótano y lo que vio, que la dejó perpleja, fue la claridad del día”.

―No lo había pensado así ―comentó Camila.

―Yo menos ―reconoció Daniel―, pero ya entiendo la idea de este tipo de ejercicios. Es, salir de lo lineal, de lo lógico, para darle al alumno posibilidades de nuevos enfoques a las situaciones problemáticas lo que implicará una mayor creatividad.

―Y se nota que es algo necesario ―apoyó Camila―, porque ¿te fijaste que todos somos profesores de matemática y a ninguno se nos ocurrió la solución?

―Somos demasiado lógicos ―respondió Daniel.

―Ya que les gustó este tipo de problemas ―continuó la profesora Javiera―, les voy a dejar uno planteado y al finalizar la exposición les voy a entregar unos apuntes con muchos del mismo tipo.

A continuación, buscó entre sus apuntes y leyó el siguiente problema:
Dos chicas están haciendo aseo en el sótano de su casa. Cuando terminan, la que tiene la cara limpia se la lava y la que la tiene sucia, no. ¿Por qué?”

“Pero también podemos plantear situaciones que incluyan procedimientos numéricos mezclados con hechos curiosos. Por ejemplo:
Un encuestador pregunta a una mujer cuántos hijos tiene. Tres, contesta ella. ¿Y de qué edades? ―vuelve a preguntar el encuestador―. La mujer responde: ‘El producto de las edades es 36 y la suma es igual al número de la casa vecina’. El encuestador se retira, pero un instante después regresa y le dice que los datos no son suficientes para saber las edades de los hijos. La mujer piensa un momento y disculpándose le dice: ‘Tiene razón, la mayor estudia piano’. ‘¡Gracias señora!’, responde muy satisfecho el encuestador. ‘Con ese dato, ya sé las edades de sus hijos’. ¿Cuáles son las edades?”

―A pensar se ha dicho ―dijo Daniel sonriente.

―¡Qué extraño lo del piano! ―se preguntó Camila―, pensando en voz alta.

El silencio en la sala, indicaba que los presentes estaban concentrados en el problema. Incluso Camila llegó a saltar cuando Daniel aseguró sorpresivamente que lo había solucionado.

―Pase adelante colega y cuéntenos cómo obtuvo la solución ―inquirió la expositora.

―El encuestador ―comenzó Daniel― sabe que el producto de las edades de los tres hijos es 36, así que descompone este número en factores y determina todas las combinaciones posibles.

1―1―36
1―2―18
1―3―12
1―4―9
1―6―6
2―2―9
2―3―6
3―3―4

Después ―continúa Daniel―, observa el número de la casa vecina y comprueba que corresponde a la suma de dos de las combinaciones:

1+6+6=13
2+2+9=13

Dado que tiene dos respuestas posibles, regresa donde su encuestada y se entera que la mayor estudia piano. Este dato aclara el problema, ya que al haber una mayor que los otros hijos, la combinación de edades que se ajusta a los datos entregados por la encuestada serían 2, 2 y 9 años.

―¡Excelente colega! Un aplauso ―dijo la expositora, dirigiéndose a los asistentes―. Bueno… Hemos resuelto diversos tipos de ejercicios con enunciados de problemas, pero por lo que he percibido en esta charla, no son muy habituales en su práctica docente. ¿Tengo la razón?

―Si ―respondieron a coro los profesores.

―Lo que está faltando, es hacer un profundo análisis sobre los tipos de problemas que habitualmente utilizan ustedes en el aula. Y para no romperles ese esquema, voy a ejemplificar con ejercicios que ustedes generalmente extraen de uno de sus textos favoritos: “el Baldor”

―¡Ese es mi texto estrella! ―exclamó Daniel.

―¡Y el mío también! ―le apoyó Camila.

Y el telón apareció repleto de los tan ansiados problemas:

1. “Un comerciante empleó $1.910 en comprar 50 trajes de a $40 y de a $35. ¿Cuántos trajes de cada precio compró?”
2. “Un hombre tiene $404 en 91 monedas de a $5 y de a $4. ¿Cuántas monedas son de $5 y cuántas de $4?
3. “La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59.049 almas que era en 1953 a 100.000 almas en 1958. ¿Cuál era la razón de crecimiento por año?”
4. “En un cine, 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $5,12 y 17 de niño y 15 de adulto $8,31. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto.”

Javiera observaba cómo todos leían y releían los problemas que aparecían en la pantalla. Después un largo silencio de su parte preguntó:

―¿Qué opinan de estos enunciados?

Un murmullo general delató el comentario entre los asistentes, pero nadie se atrevía a comenzar a opinar. Tal vez porque no sabían a qué quería llegar la profesora con su pregunta.

―No veo nada extraño ni alguna relación entre esos enunciados, comentó Daniel a Camila.

―Además, ¡cuántas veces hemos usado algunos de esos problemas en las guías de ejercicios para nuestros alumnos! ―agregó Camila.

La expositora, viendo cierto temor de responder, los incentivó con algunos comentarios e interrogantes.

―En el problema de los trajes ―señalándolo― estoy seguro que sus estudiantes les preguntan, entre risas, dónde está ubicada la tienda para ir a comprarse 10. En el siguiente, seguro bromean, ¿monedas de $4? Si alguien tiene alguna, se la cambio por una de $7.

Una risa general indicó que se comenzaba a entender lo que la profesora estaba buscando al mostrarles esos enunciados.

Rodolfo levantó la mano y la expositora le cedió el turno de opinar.

―Me parece importante que los enunciados de los problemas tengan un vocabulario y cantidades numéricas que se utilizan en la vida cotidiana. No podemos estar hablando de almas, cuando se refiere a habitantes, ni que las entradas a un cine puedan costar una cantidad decimal inexistente en nuestra moneda nacional, como por ejemplo $5,12. Y aprovecho de dar a conocer mi posición respecto de este texto de matemática, apoyándome en lo que nos contaban ayer sobre Jean Diudonné y su famoso “abajo Euclides”… yo no tengo reparos en gritar “¡abajo Baldor!”.

Se sentó y el caos fue total. Las opiniones y discusiones se multiplicaron y no pocos se molestaron ante tan rotunda afirmación, entre ellos Daniel.

―Debo reconocer que Rodolfo tiene razón con lo que expresa ―comentó Camila― claro que de allí a descartar el texto de Baldor me parece mucho.

―Es que estos profesores jóvenes creen que se las saben todas y quieren prescindir de todo lo antiguo, como si lo escrito anteriormente no sirviera para nada. ―refunfuñó dolido Daniel.

La verdad es que la reunión había caído en una zona densa donde sólo la palabra clarificadora de la expositora podría enmendar rumbos.

―Estimados colegas ―dijo Javiera sonriente―, me alegra ver el camino que ha tomado nuestra discusión, porque es el momento de despertar de nuestro letargo pedagógico y analizar cada una de nuestras prácticas, de nuestras metodologías, de nuestro material de apoyo y hasta de nuestra relación con los alumnos.

―Cuando hablamos de resolución de problemas, nos referimos a problemáticas que ayudan al desarrollo de actividades intelectuales, que responden a los intereses de los alumnos, que le son significativos, con una variedad de estrategias para su solución y con un nivel lingüístico contextualizado y al alcance de ellos.

―De seguro ustedes conocen la clásica formulación que hizo Polya de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema ―continuó Javiera―. Considero de gran importancia recordarlas, analizarlas y hacer paralelos entre su formulación y la de otros investigadores.

Les voy a dejar un material para alguna de sus reuniones de departamento y les aseguro que con el tiempo todo se clarificará. Para finalizar, construyamos una recopilación de las estrategias más frecuentes que ustedes suelen utilizar en la resolución de problemas.

Y comenzó a pedirles a los presentes que describieran una estrategia que generalmente recomendaban a sus alumnos.

―Yo siempre les insisto en que un buen esquema, una tabla o un dibujo, del problema planteado, puede darles claridad en el procedimiento a seguir ―aportó un primer colega.

―Una sugerencia que siempre les hago, es que reduzcan el problema a otro más pequeño o que lo asemejen a problemas similares ya trabajados. También que lo reformulen me da buenos resultados ―agregó otro.

En su turno Camila relató: ―Nunca dejo de sugerir la correcta lectura del problema, insisto en que lo entiendan, que no dejen pasar palabras o conceptos que no sepan y que practiquen el método ensayo y error.

―A mis alumnos ―dijo Daniel― les resulta bastante positivo en la resolución de problemas efectuar la reducción al absurdo y también, empezar por el final, como si el problema estuviese resuelto.

―Yo, recomiendo empezar siempre por lo más fácil ―expresó Rocío― lo cual parece algo muy lógico, pero no es tan así. La idea que les propongo es que resuelvan un problema similar pero más fácil, más sencillo.

―Bien ―señaló Javiera―, me parece que ya hemos hecho un buen listado de estrategias que espero consideren en el trabajo con sus alumnos. No se olviden que siempre, independiente del curso en que el alumno esté, manipular y experimentar, puede aportarle grandes beneficios y darle una mayor claridad sobre lo que debe realizar. Tampoco hay que olvidarse de algunos de los métodos que han sugerido grandes matemáticos, tal como el Principio del Palomar, el análisis de casos límites, la utilización de la simetría, etc.

―¡Muchas gracias por su participación en esta charla! ―finalizó Javiera. Espero que en sus futuras prácticas consideren las situaciones analizadas este día.

Un gran aplauso agradeció el trabajo de la expositora.