Rumbo al Constructivismo

Comenzó la segunda conferencia “Constructivismo y Matemática”. La disposición de los profesores asistentes había cambiado, sus expectativas ahora eran mucho mayores.

Si bien Daniel y Camila habían sufrido un remezón con respecto a los conjuntos, ahora sentirían un terremoto al escuchar que sus prácticas deberían tomar un nuevo rumbo y que las tradicionales clases que impartieron por años, no estaban logrando las competencias necesarias para el mundo de hoy.

“Lo primero ―señaló el conferencista―, es saber qué propone la Teoría Constructivista. El mismo nombre lo sugiere: el conocimiento se construye, considerando que el sujeto posee estructuras mentales previas que se modifican a través del proceso de adaptación”.

―Aun no me queda claro ―susurró Camila―. ¿Qué tiene que ver esto con la matemática?

―A mí tampoco ―acotó Daniel.

Y siguieron la exposición con la esperanza de escuchar en algún momento la palabra matemática.

…“Esta teoría propone que el sujeto que conoce es el que construye su propia representación de la realidad, se construye a través de acciones sobre la realidad. El aprendiz aprende cómo aprender, no solamente qué aprender”.

La exposición continuó y los asistentes la seguían palabra a palabra, parecía que cada uno la hacía, mentalmente, vida en su realidad escolar. Todo se clarificó cuando aparecieron algunos ejemplos.

―¡Bien, eso es lo que esperaba! ―exclamó Daniel― ¡No tanta teoría!

Cuando los asistentes esperaban algunas expresiones algebraicas de alto nivel para resolver, el conferencista planteó lo siguiente:

―Dibujen dos puntos en su hoja de apuntes y únanlos por una recta.

Hizo una pausa, mientras todos seguían sus indicaciones.

―Ahora hagan lo mismo, pero con tres puntos no colineales y luego con 4 puntos.

―¡Muy fácil! ―dijo Daniel. ―No me veo haciendo esto en educación media.

―Mejor esperemos ―le respondió Camila― para algún lado va esto.

―¿Cuántas rectas debieron trazar? ―preguntó el expositor.

―Para los tres puntos, se trazaron 3 rectas ―respondió la profesora Marta―, mientras que para los 4 puntos, se trazaron 6.

¡Muy bien! ―aprobó el expositor―. Ahora, hagan el mismo procedimiento para 5 puntos.

―Esas son muchas rectas ―dijo Daniel―. Mejor las calculo sin dibujarlas. Me dan 20 rectas.

―Creo que estás equivocado porque a mí me dan 10 solamente ―respondió Camila.

―Tienes razón ―reconoció Daniel―, pasan 4 rectas por cada vértice y como son 5 vértices me da un total de 20 rectas, pero algunas están contadas dos veces, es decir, tengo que dividir mi cálculo por 2.

―Como ustedes ven ―dijo el expositor― ya no es tan fácil dibujar tantas rectas al aumentar la cantidad de puntos, por lo que sería conveniente seguir un procedimiento distinto al geométrico.

―Eso es lo que hice yo ―manifestó Daniel a Camila.

―Determinen entonces, cuántas rectas se deben trazar con 6 puntos no colineales, pero ahora sin realizar el dibujo.

―Voy a seguir tu procedimiento. Por cada punto pasan 5 rectas y como son 6 vértices, eso da un total de 30 rectas y como yo no pienso equivocarme como otro ―bromeando y señalándolo con un gesto― divido por 2, para descartar las repetidas y me dan en total 15 rectas.

―¡Qué graciosa! ―respondió Daniel―, pero no sé para qué estamos haciendo esto.

―Ahora ―continuó el expositor―, supongan que tenemos que trazar rectas que unan n puntos, ¿cómo sabrán la cantidad de rectas a trazar? ―desafió el expositor.

―Muy fácil ―dijo Daniel a Camila―, siguiendo el mismo procedimiento anterior. Son n puntos y por cada uno de ellos se trazan n―1 rectas lo que da un total de  rectas, pero hay que dividir por 2, lo que nos da finalmente

―Exactamente, me da lo mismo ―le confirmó Camila―. ¿Te diste cuenta que, casi como un juego, llegamos a determinar una fórmula matemática?

―Tienes razón. Comienzo a comprender lo que es construir aprendizajes ―reconoció Daniel. ―En definitiva, hemos logrado una generalización de una determinada situación.

―Ahora, les voy a plantear otra problemática para que la resuelvan ―dijo el expositor―. A una fiesta llegan n amigos los cuales se saludan entre sí, ¿cuántos saludos se dieron en total?

Todos los presentes se concentraron en el problema planteado y sólo fueron interrumpidos cuando Rocío habló en voz alta.

―Profesor, esta es la misma situación que usted planteó sobre la cantidad de rectas para n puntos, por lo tanto, la respuesta es la misma que la anteriormente encontrada.

―Exactamente y eso estaba esperando que me respondieran ―dijo complacido―, que se dieran cuenta que la fórmula que acabamos de concluir, es una generalización que puede ser obtenida de otras múltiples situaciones. Y les puedo agregar otro problema del mismo tipo, ¿cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

Para Daniel, las siguientes horas estuvieron llenas de contradicciones, estaba entre el tradicionalismo de sus prácticas de aula y las nuevas ideas que surgían espontáneamente.

Junto a Camila y otros colegas debían planificar, como ejercicio, la primera clase “reformista” y luego exponerla frente a los otros participantes del curso.

Para Daniel, el esquema de pasar contenidos, dar algunos ejemplos, entregar una guía de 100 ejercicios o más en lo posible y luego aplicar una prueba, eran la fórmula perfecta, la del profesor perfecto.

Daniel jamás había analizado su práctica, ni autocriticado su forma de enseñanza. Él era el expositor, el que planificaba, conducía y hacía la clase, el que integraba, resumía y ordenaba todo el saber; basaba su clase en un alumno promedio, sin diferenciar persona; medía principalmente aprendizajes de la habilidad de memorizar y era netamente frontal. Ahora, se sentía apesadumbrado, inquieto…

―¿Qué te pasa Daniel? Te veo distraído y muy pensativo.

―Estoy preocupado Camila…, no sé si seré capaz de cambiar mis clases y adaptarme a esta nueva forma de enseñar.

―Pero Daniel… ¿Dónde quedó aquel joven profesor que le gustaba crear ejercicios novedosos, desafiar a los alumnos con problemas de ingenio y leerles libros de Agatha Christie para mejorar su razonamiento? ¿No te das cuenta que tú ya estás en la reforma hace tiempo?

―¿Me estás hablando en serio?

―Por supuesto. Cuando le das de tarea que inventen un ejercicio, que hagan un poema con conceptos matemáticos o una figura humana con elementos de geometría, estás siendo un reformista.

Daniel sonrió y su semblante cambió con los recuerdos de tanta cosas que se le habían ocurrido durante su vida de profesor. Como aquel cuando salió con algunos cursos a medir el ancho del río y la altura de algunos edificios, usando las funciones trigonométricas o como aquella vez durante Fiestas Patrias, cuando con un curso, crearon un método para no perder jamás en el juego de azar “Mayor o menor”…

―Lo que tenemos que hacer ahora ―aclaró Camila―, es formalizar todo aquello que se nos ocurría, planificarlo e incorporarlo a la clase y a las actividades de la asignatura.

―“Subsector” ―corrigió Daniel― y ambos rieron con mucha gana.

―¡Ya pues! ―se quejaron los otros integrantes del grupo―. ¡Trabajemos!

Lo primero que hicieron, fue definir el contenido en el que aplicarían los nuevos conceptos y metodologías recién aprendidos. Después de muchas sugerencias por parte de los integrantes del grupo se optó por “Potencias y Regularidades”

―¿Cómo podemos iniciar el tema? ―preguntó Camila.

―Yo partiría recordando la definición, dando los teoremas y finalizaría con una buena guía de ejercicios y listo ―dijo Daniel, haciendo una breve pausa― y con voz quejumbrosa concluyó, ―pero ya no se puede hacer así.

Todos rieron y confirmaron su conclusión.

Rodolfo, profesor de matemática del Colegio “Claudio Arrau”, ya tenía alguna experiencia de la Reforma, pues su establecimiento la había implementado el año anterior y habían pasado por una situación similar. Decidió aceptar la invitación al curso para profundizar en ella y afianzar su metodología.

―Yo propongo ―dijo Rodolfo― comenzar con el siguiente ejercicio: descubrir cuál es la última cifra de 229, basándose en alguna regularidad, pero sin calcular.

―Me parece bien ―apoyó Rocío, la profesora de matemática de 8º básico― y se me ocurre que podríamos hacer una tabla que apunte hacia nuestro objetivo. Algo así:

―Y en base a la tabla ―sugirió Camila―, podemos elaborar algunas preguntas.

―Por ejemplo ―aportó Daniel― en qué número termina , o el número 6.872 ¿puede ser el cuadrado de un número entero?

―¿Qué observas respecto a la quinta potencia de un número cualquiera? ―agregó Rodolfo.

―Estaría faltando, una aplicación de las potencias ―dijo Rocío.

―Podríamos contar la historia del ajedrez ―sugirió Daniel

―Excelente idea ―apoyó Camila― ¡redactemos la historia!

Entre todos elaboraron el siguiente texto: “Un monarca, fascinado por la riqueza del juego, quiso premiar a su inventor. En el palacio, el inventor del ajedrez solicitó, que se le premiara sencillamente con granos de trigo, en cantidad tal que, en la primera casilla del tablero hubiese un grano, en la segunda 2, en la tercera 4, en la cuarta 8 y así sucesivamente.

Sorprendido el monarca por la modestia del inventor, le dijo que sí de inmediato, pero cuando mandó a calcular cuánto trigo era necesario, resultó ser una cantidad astronómica, no siendo posible satisfacer el pedido del inventor”.

―Y después les pedimos, calcular en base a potencias de 2, la cantidad de granos en cuestión y determinar en qué número termina esa potencia ―aportó Rocío.

Leyeron su trabajo, le agregaron unos ejercicios más y esperaron el turno del grupo para presentarlo.

Los nervios consumían a Daniel. Un sudor frío recorría todo su cuerpo. A él le correspondía exponer la parte inicial del trabajo realizado y le incomodaba la forma en que debía hacerlo. El temor de hacerlo mal, se contraponía a la experiencia que tenía y el prestigio que se había ganado entre sus colegas. Escuchó los trabajos de los otros grupos y se imaginó como un alumno en clases viviendo esa nueva forma de aprender y le gustó.

―¡Te toca! ―le avisó Camila―, codeándole suavemente.

Daniel se encaminó raudamente hacia el sector de las exposiciones, con aplomo, tratando de ocultar sus nervios y el peso que llevaba sobre sus hombros en ese momento.