MATEMÁTICAS PARA UN NUEVO SIGLO
por Roberto Muñoz Izquierdo

   ¿A qué se dedica un matemático? ¿Pero no están todos los problemas de matemáticas resueltos? Y tú qué, ¿todo el día haciendo cuentas? ¿Qué tipo de cuestiones trata de responder las matemáticas?

  A estas preguntas me he enfrentado en numerosas ocasiones en mi corta experiencia como matemático. Tus amigos, la gente que te rodea indaga, tiene curiosidad. Las matemáticas están rodeadas de un halo de misterio que parece no se puede atravesar, su complejidad, también en los propios enunciados de los problemas que trata de resolver, hace que sea difícil comunicar (incluso con los propios colegas) los temas de investigación y las situaciones que aborda. Por otro lado, la idea de que son una ciencia muy abstracta, muy poco aplicada, de nula implicación en la vida cotidiana aleja al gran público de tratar de conocerlas. Y también, claro, las malas experiencias de los estudios primarios y del bachillerato, donde las matemáticas se convierten habitualmente en la asignatura con mayor número de suspensos y que resulta de más difícil comprensión.

  Tengo una doble oportunidad que entiendo no puedo dejar pasar. Por un lado la posibilidad de escribir para un colectivo de no matemáticos, de personas interesadas, en un medio de comunicación divulgativo. Por otro lado la cercanía del año 2000. El cambio de siglo no supone sólo un problema de dígitos en la fecha inscrita en un ordenador, sino también esa natural preocupación del ser humano por conocer cuáles van a ser los avances del nuevo período. Además, la UNESCO ha patrocinado la iniciativa de que el año 2000 sea el año de las matemáticas. Se trata de divulgar, comunicar, hacer propaganda entre el gran público de esta ciencia, intentando hacer comprender tanto su utilidad como su belleza.

   En 1900, en París, Hilbert, uno de los grandes matemáticos de la época, propuso una lista de 23 problemas que para dicho autor debían ser algunas de las más importantes cuestiones de estudio durante el siglo XX. La incidencia y el desarrollo de las matemáticas que va a provocar un problema que se plantea son de difícil previsión, pero lo que es un hecho es que la lista de Hilbert ha sido uno de los motores de avance de las matemáticas durante este siglo. Y no sólo por los problemas en sí, sino también por las técnicas y descubrimientos que en la búsqueda de esas soluciones se han generado.

  Leamos el comienzo de dicha conferencia de Hilbert. Plantea unas preguntas completamente válidas 100 años después, pero obviamente para el nuevo siglo.

Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden; to cast a glance at the next advances of our science and at the secrets of its developments during futures centuries? What particular goals will there be toward which the leading mathematical spirits of coming generations strive? What new methods and new facts in the wide and rich field of mathematical thought will the new centuries disclose?
D. Hilbert. Mathematical problems. Bull. AMS, Vol. 8 (1902), 437-497
  En 1974, la American Mathematical Society organizó en la Northern Illinois University un congreso especial sobre las matemáticas que ha desarrollado la lista de problemas de Hilbert. Los resultados de este congreso se recogieron en dos volúmenes de artículos científicos titulados Mathematical developments arising from Hilbert problems (Proc. of Symposia in Pure Mathematics, Vol. XXVIII, part I and II), lo que da una medida de la importancia que dicha colección de problemas ha tenido.

  Y es que éste es el modo habitual de trabajo de un matemático. Afronta un problema, tiene su solución como meta y horizonte, y aunque no siempre la obtiene, en el intento, desarrolla técnicas, comprende conceptos, aborda situaciones distintas, reconoce relaciones nuevas entre las diferentes teorías... El ejemplo más conocido es el último teorema de Fermat. Durante la lectura del la traducción latina de C. G. Bachet de Meziriac de la Aritmética de Diofante, P. Fermat hizo una sorprendente afirmación que ha tenido en jaque durante tres siglos a la comunidad matemática: la ecuación xn + yn = z no tiene soluciones enteras para n mayor o igual que 3. La frase de Fermat decía aún más:

"Cuis rei demostrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet."
Fuente: S. Singh. El enugma de Fermat. Planeta 1998
 Es decir que había encontrado una maravillosa demostración de este hecho que no le cabía en el margen del libro que leía. ¡Vaya provocación! Este teorema no ha sido demostrado hasta 1994 por A. Wiles, tras el anuncio un año antes de una demostración incompleta por parte de este mismo autor. Fermat no disponía, de ninguna manera, de las herramientas que se utilizan en esta prueba. Para saber más de este problema recomiendo no sólo el libro de la nota 3 sino también un interesante documental de la BBC de la serie "Horizon". A veces la televisión es un instrumento de refinamiento, lejos de la vulgaridad creciente de la mayoría de su programación. Esta situación ejemplifica lo que he señalado: un problema de enunciado sencillo, de aspecto abordable, que ha despertado la curiosidad de varias generaciones de hombres de ciencia. Su solución, aunque es importante, no es lo más interesante del estudio de este teorema, sino la cantidad de teorías y herramientas matemáticas que se han creado en su búsqueda.
But, in the further development of a branch of mathematics, the human mind, encouraged by the success of its solutions, become conscious of its independence. It evolves from itself alone, often without appreciable influence from without, by means of logical combination, generalization, specialization, by separating and collecting ideas in fortunate ways, new and fruitful problems, and appears itself as the real questioner.
D. Hilbert. Mathematical problems. Bull. AMS, Vol. 8 (1902), 437-497
   La pregunta natural tras el ejemplo es sobre la utilidad que tiene la resolución de este tipo de problemas. La respuesta requeriría una profunda reflexión sobre el concepto de utilidad. Si por utilidad entendemos que se va a poder aplicar en una industria, va a provocar grandes rendimientos económicos o va a modificar la conducta individual del ciudadano normal, la respuesta es evidente: ninguna. Como la poesía (no la industria editorial), como el cine o el teatro (no el negocio audiovisual), como el ocio, la gastronomía, el deporte (no los supermillonarios futbolistas)... Si en el término utilidad se engloban las posibles componentes estéticas, de superación personal y social, de conocimiento profundo de la naturaleza, la percepción y la razón... resulta claro que éste es un exponente de cómo tres siglos de trabajos constantes de un grupo importante de personas han desarrollado bellas teorías en las que este problema ha podido ser solucionado. Por otro lado es bastante frecuente la sorprendente aplicación que nuevas teorías de matemáticas, que se desarrollan de forma autónoma, tienen en otras ciencias. Podemos señalar los trabajos de Smale (ganador de la medalla Field, el equivalente del premio Nobel de matemáticas) aplicando modelos matemáticos en economía; y viceversa, cómo el desarrollo de ciertas teorías (físicas por ejemplo) necesita de una formalización matemática para hacerlas rigurosas y precisas. También señalar que las matemáticas son el lenguaje en que se escriben todas las ciencias, es, se podría decir, el lenguaje con que se expresa la naturaleza. O al menos, siendo menos pretencioso, el lenguaje en que se manifiesta nuestro conocimiento de la naturaleza.
Durante un tiempo en mi investigación busqué las razones por las que el último teorema de Fermat pudiera interesar a cualquiera que no fuera un matemático, y por qué sería importante hacer un programa acerca de él. Las matemáticas tienen un montón de aplicaciones prácticas, pero en el caso de la teoría de números los usos más estimulantes que se me ofrecieron fueron en criptografía, en el diseño de pantallas acústicas y en la comunicación con sondas espaciales lejanas. Ninguno de ellos me parecía apropiado para atraer a la audiencia. Mucho más atractivos eran los mismos matemáticos, la pasión que expresaban cuando hablaban de Fermat.
JLYnch. editor de BBC Horizon. Prólogo a 3
   De la lista de Hilbert quedan problemas sin solucionar, y las soluciones que se han dado a algunas de las preguntas allí planteadas se han descrito en unos términos nuevos en los que Hilbert no podía sospechar, sobre todo referidas a los temas de lógica y fundamentos de las matemáticas. Sin embargo otros problemas, de los que Hilbert llegó a decir que ninguno de los presentes en aquella conferencia vería la solución (como la trascendencia de ), fue solucionando 10 años después, mostrando paradójicamente que las matemáticas son la menos exacta y previsible de las ciencias.

   La llegada del año 2000 invita a los matemáticos de primera fila a tratar de establecer una lista de problemas equivalente a la de Hilbert, para este nuevo siglo. En la anteriormente citada reunión de Illinois se trató de establecer una posible colección y con motivo de la celebración del 60 cumpleaños de otro de los grandes matemáticos contemporáneos, V.I. Arnold, éste invitó a una serie de colegas a describir algunos grandes problemas para el siglo venidero. Smale ha publicado una propuesta (S. Smale. Mathematical problems for the next century. Math Intelligenzer 7-15) y de ella voy a extraer algunas de las cuestiones para explicarlas de la forma más sencilla posible.

   He elegido cuatro de los problemas propuestos, en su lista los números 1, 16, 3 y 2. Irán aumentando en dificultad y a veces lo planteado aquí no se parecerá a lo que recoge el artículo de Smale, porque enunciaré el problema que subyace y no tanto la pregunta concreta planteada en términos matemáticos.

    El Problema 1 está relacionado con una de las cuestiones más interesantes y difíciles de la teoría de números, conocer la distribución de los números primos en el conjunto de los números naturales. Un número primo es un número sólo divisible por él mismo y por la unidad, como el 3, el 5 ó el 31. Resulta muy sencillo comprobar que los números primos son una cantidad infinita. Supongamos lo contrario, es decir, que existen una cantidad finita de números primos a1, a2, ..., an entonces se puede construir el número entero resultado de multiplicar todos ellos y sumarles la unidad, esto es, a1·a2 ···an + 1. Este número es primo pues el resto de dividir por cualquier número primo es 1, y tenemos la contradicción. Pero en realidad ¿cuántos hay?, ¿cómo se disponen en el conjunto de los números naturales? Hay resultados tan curiosos como la existencia de un número primo entre cualquier número natural y su doble y otros resultados en esta línea mejores. S. Lang en sus famosas conferencias divulgativas de París (S. Lang. El placer estético de las Matemáticas. Alianza editorial 1984) propone cuestiones y resultados a este respecto. Remito al lector interesado a esta referencia para disfrutar, casi en directo, con un apasionado de las matemáticas haciendo ciencia.

    El Problema 16 es conocido como la Conjetura Jacobiana. He elegido este problema por la sencillez de su enunciado aunque resulta menos sugerente para el no iniciado y también porque, siendo un problema planteado en los años 30 y al que se han dedicado una gran cantidad de matemáticos, permanece abierto. Coleccionamos n polinomios en n variables (n > 1) para construir una aplicación de Cn (C los números complejos) en Cn, tal que la matriz nxn de las derivadas parciales tenga determinante no nulo, ¿es necesariamente esta aplicación biyectiva, es decir, uno a uno? La respuesta parece afirmativa pero se resiste incluso en el caso n=2. Con unos pocos conocimientos de álgebra y de análisis de variable compleja, el matemático, al escuchar el enunciado de esta conjetura, se siente capaz de abordarla, aunque una mirada profunda demuestra su extrema complicación.

  El problema 3 se enmarca en el campo de la teoría de la complejidad de algoritmos. Smale sugiere en el artículo en que me estoy basando, que si el siglo XX ha sido el del estudio de las soluciones de las ecuaciones, sus propiedades... el siglo XXI ha de ser el siglo de la búsqueda de dichas soluciones. La aparición de los ordenadores y de una formalización adecuada del concepto de algoritmo para el análisis (es decir, un modelo de computación sobre los números reales o los números complejos) sugieren las preguntas acerca del tipo de cuestiones que un ordenador puede resolver. Esto se viene a traducir en que el tiempo empleado por la máquina en la resolución de un problema ha de estar acotado por un polinomio cuyas variables son los tamaños de las entradas. En concreto nos podemos preguntar acerca de la igualdad P = NP sobre los números complejos. Esta igualdad quedaría refutada por la demostración de la conjetura que establece la no existencia de un algoritmo polinomial para decidir el teorema de los ceros de Hilbert en los números complejos. El teorema fundamental del álgebra (o la propia génesis de los números complejos) nos dice que un polinomio en una variable tiene raíces complejas, que además se pueden contar adecuadamente, y son tantas como el grado del polinomio. Pero si tenemos una colección de varios polinomios en varias variables no necesariamente debe haber una solución común a todos ellos, incluso en el caso de los números complejos. El teorema de los ceros de Hilbert, en el caso de polinomios con coeficientes complejos, establece que dada una colección       f1, f2,..., fk de polinomios en n variables, la no existencia de una raíz común a todos ellos es equivalente a la existencia de k polinomios g1, g2,...,gk  en n variables tales que f1g1 + f2g2 + ...+ fkgk = 1 . Posteriormente se establecen cotas sobre los grados de estos polinomios gi  y se puede traducir este problema en una cuestión de álgebra lineal y desarrollar un algoritmo de decisión de existencia de soluciones que funciona en tiempo exponencial; lo que no resulta en absoluto conveniente para garantizar que se puede obtener una respuesta por medio de un ordenador. ¿Existe un algoritmo de tiempo polinomial para decidir esta cuestión? Smale considera este problema "as a gift to mathematics from computer science."  (S. Smale. Mathematical problems for the next century. Math Intelligenzer 7-15).

   Finalmente, el problema más complicado en su enunciado que voy a comentar es el Problema 2, conocido como Conjetura de Poincaré y que se engloba en el campo de la topología. La tercera conferencia de Lang en la referencia antes citada permite hacerse una idea del tipo de cuestiones de que estamos hablando. Tomemos como punto de partida el problema de los 7 puentes de Könisberg, planteado por Euler, que podemos encontrar explicado en abundantes libros y artículos (ver por ejemplo: M. de Guzmán et al.   Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Alhambra 1980). Könisberg es una ciudad atravesada por un río con una isla y 7 puentes, según la figura siguiente:

¿Puede diseñarse un paseo que atraviese los siete puentes una sola vez sin salirse de la ciudad? El problema puede ser más o menos sugerente, pero lo verdaderamente interesante es el hecho de la irrelevancia de los tamaños de los puentes o las dimensiones y formas de las islas, se puede reducir cada trozo de tierra firme a un punto o deformar el problema con la geometría de goma, como le gusta decir a Lang y el problema resultante es exactamente el mismo. Este es el tipo de situaciones que aborda la topología que no distingue entre una circunferencia y un cuadrado porque se puede convertir uno en otro por medio de una deformación de goma. En este contexto se engloba la conjetura de Poincaré. ¿Es una variedad compacta conexa de dimensión 3 tal que cada círculo puede ser deformado a un punto homeomorfa a una esfera tridimensional? Donde homeomorfa quiere decir que se puede construir una deformación de una a otra; y la esfera tridimensional es un subconjunto de R4 (R es el conjunto de los números reales) definido por la ecuación x12 + x22 + x32 + x42 = 1. Otra de esas curiosidades que tiene las matemáticas es que esta conjetura está probada para n>3 y sin embargo el caso n=3 permanece sin ser resuelta.

     Podría presentar otros problemas, tanto de la lista sugerida por Hilbert, de la de Smale, de la recogida en las actas del congreso de Illinois o incluso de la investigación cotidiana que se realiza en un departamento de matemáticas de cualquier universidad pero eso escapa la pretensión de este comentario. Espero que haya servido para dar alguna luz sobre la actividad matemática y permita intuir que en esta ciencia existe belleza, dificultad e interés. Pertenece a esas tareas humanas que consolidan el avance del pensamiento, favorecen el desarrollo lógico y del espíritu crítico de cada persona, disponen al individuo ante nuevos retos más difíciles y sugestivos y forman, tanto en la creatividad (recordemos su aspecto lúdico), como en la constancia y la disciplina (quién no recuerda las fabulosas torres de quebrados del bachillerato o la primaria).

Quiero terminar con unas palabras del profesor F. Ovejero de la Universidad de Barcelona que señala, en un artículo dedicado a la educación (F. Ovejero. Aprender para olvidar, aprender para vivir. El Pais, miércoles 24 de febrero de 1999), lo siguiente:

A poco trato que tengamos con el arte, las matemáticas o ciertos deportes, sabemos que, antes de que el gusto cribe, el juicio se refine o el cuerpo responda, hay que encarar tareas fatigosas e inciertas, y que, sólo al final, con suerte, instalados como en una segunda piel, las capacidades adquiridas se sedimentan y se convierten en pertrechos con los que mirar el mundo y aquilatar, también, lo aprendido... Sólo entonces, cuando las capacidades se ejercitan, se consigue el disfrute, sin que, por lo demás, ese ejercicio, para afinarse, para pervivir, pueda prescindir de cierta tensión inteligente, de cierto permanente reto. Bien mirado, algo parecido a vivir.
Prof. Roberto Muñoz Izquierdo
ESCET - Universidad Rey Juan Carlos
Madrid, 1999
 

Principal > Artículos > Matemáticas para un nuevo siglo