¿Se aprenden matemáticas haciendo los deberes?

Pilar Lacasa, María Albuquerque e Inmaculada Sola

Resumen

La enseñanza y el aprendizaje de la matemática han sido objeto de múltiples trabajos que muestran como las dificultades relacionadas con estos procesos proceden, entre otras muchas razones, de la necesidad de que quienes aprenden consideren significativas las tareas a las que se enfrentan, teniendo en cuenta las peculiaridades de esta forma de conocimiento. Es necesario, por una parte, que en las aulas no se pierda de vista el carácter formal de esta ciencia y, por otra, sus posibles aplicaciones a la realidad cotidiana. En este trabajo se revisa esta problemática y se ilustra con algunas interacciones en el hogar cuando una niña de cuarto curso de E.G.B. trabaja con su madre, primero, y con su hermano, después, tratando de resolver un problema de matemáticas. El análisis se apoya, desde una perspectiva metodológica, en las aportaciones de la etnografía y la psicología discursiva. Los resultados muestran, por una parte, que no siempre es fácil la presencia de esas dos características del pensamiento matemático en las situaciones de enseñanza - aprendizaje y, por otra, cómo la interacción con los iguales puede facilitarla.

Palabras clave:

Deberes, estrategias de enseñanza - aprendizaje, familia, matemáticas, interacción entre iguales, interacción niño - adulto, zona del desarrollo próximo.

Datos sobre las autoras:

Pilar Lacasa: Es Catedrática de Psicología Evolutiva y de la Educación en la Facultad de CCEE de la Universidad de Córdoba. En la actualidad investiga, desde una perspectiva etnográfica, la presencia de diferentes códigos de comunicación en la escuela. Dirección: Departamento de Educación. Facultad de CCEE. priego de Córdoba 4, (14013) Cordoba. FAX: 957 218923. E Mail: placasa @uco.es

María Albuquerque: Licenciada en Psicopegagogía y estudiante de Tercer Ciclo en la Universidad de Córdoba. Investiga en la actualidad la presencia de distintos mediadores simbólicos en las aulas, especialmente la televisión. Dirección: Departamento de Educación. Facultad de CCEE. Priego de Córdoba 4, (14013) Cordoba. candelas@alcavia.net

Inmaculada Sola: Es licenciada en Psicopedagogía y becaria de Docencia de la Junta de Andalucía en el Departamento de Educación de la Universidad de Córdoba. Investiga e imparte docencia relacionada con cuestiones de metodología de las ciencias sociales y le interesan, además, las cuestiones relacionadas con el tema de la interacción entre iguales como contexto de la enseñanza y el aprendizaje. Dirección: Departamento de Educación. Facultad de CCEE. Priego de Córdoba 4, (14013) Cordoba.

 

Abstract

This paper explore how difficulties in teaching and learning mathematics are related to the fact that the tasks proposed need to be meaningful for people involved in these processes. Moreover, to examine how mathematics could be introduce in the classrooms, the specificity of the mathematical knowledge is considered by taking into account both his formal dimension and his functional character in every day life. Some examples are taken coming from a homework situation when a fourth grade girl collaborates successively with her mother and brother to solve a math problem as appears in the text book. The analysis adopted a methodological perspective supported by microethnography and discourse analysis. Firstly, the results show how it this difficult to merge together the functional and formal dimensions of the mathematical knowledge in the classroom learning and, secondly, how peer interactions facilitates the learning process.

Key words:

Homework, teaching and learning strategies, family, mathematics, peer interaction, adult - child interaction, zone of proximal development.

 

 ¿Se aprenden matemáticas haciendo los deberes?

Pilar Lacasa, María Albuquerque e Inmaculada Sola

Seguramente quien haya escuchado alguna vez las conversaciones que tienen lugar en el hogar, cuando niños y niñas hacen sus deberes de matemáticas colaborando con las personas adultas, se preguntará si en esas situaciones se aprende realmente esta disciplina. En esos momentos las personas parecen más preocupadas por terminar la tarea lo antes posible, realizar mecánicamente una serie de cálculos o encontrar la solución de un problema que debe coincidir con la que aparece en el libro de texto. Si profundizamos algo más en esa pregunta nos damos cuenta de que tras ella pueden esconderse otras muchas, por ejemplo: ¿cuál es la relación entre estas prácticas y las que llevan a cabo los matemáticos profesionales cuando resuelven problemas o las personas que, en su vida cotidiana, necesitan acudir a ellas? En este momento las distancias entre el conocimiento que se aprende en la escuela y el que se utiliza fuera de ella comienzan a hacerse cada vez más grandes. En las páginas que siguen nos acercaremos a algunas de estas cuestiones y para ello, tras acercarnos a la problemática que implica la enseñanza de la matemática en la escuela, considerando algunos trabajos que se han ocupado del tema, revisaremos el modo en que una niña de cuarto curso trabaja sobre un problema de matemáticas en primer lugar con su madre y, posteriormente con su hermano. Los diálogos pueden ser una muestra de cómo a veces los iguales pueden aportar mejores estrategias para acercar las matemáticas a la vida cotidiana que las personas adultas.

Enseñar matemáticas en la escuela

Excede los límites de estas páginas revisar las múltiples direcciones por las que se han orientado los trabajos que se han ocupado de la enseñanza de la matemática en la escuela y fuera de ella. Aludiremos solamente a algunos de ellos que, de una forma u otra, han tenido una mayor influencia en nuestra investigación cuando hemos tratado de buscar algunos puentes que permitan establecer nexos entre lo que se aprende en la escuela y fuera de ella.

Diferentes autores (por ejemplo, Brilliant-Mills, 1994; Cobb, 1994; Cobb y Bauersfeld, 1995; Cobb, Wood, y Yackel, 1993; Pimm, 1995; Rivière, 1990) coinciden en señalar que el conocimiento matemático se originó con intereses prácticos, basta recordar que la matemática permite establecer relaciones entre los objetos, sugeridas muchas veces por el mundo material y los objetos físicos. Pero no podemos dejar de reconocer que más allá de este mundo de una matemática elemental, lo esencial de esta forma de conocimiento es aportar a la mente humana la capacidad de prescindir de las limitaciones que imponen al conocimiento cotidiano la necesidad de contextualizarlos en espacios y tiempos precisos (Piaget, 1967). Los conceptos matemáticos, se nos dice, no están contenidos en los objetos, sino que se refieren a ellos. Un aspecto importante, por lo tanto, es considerar hasta que punto la matemática puede ser enseñada únicamente como una forma de conocimiento abstracto que se apoya, sobre todo, en lenguajes formales a través de los cuales se expresan sus proposiciones.

Quienes se han ocupado de la enseñanza de la matemática han insistido también en la idea de que esta forma de conocimiento debe ser reconstruida por el alumnado pieza a pieza, de forma significativa sobre la base de experiencias anteriores y de concepciones que son fundamentalmente contextuales. Tratando de unir esta doble línea de trabajo podemos citar las aportaciones de Leino (1990) cuando presupone que existen dos procesos de construcción de la matemática cuando éstos se llevan a cabo en el contexto escolar. Se refiere, por una parte al del profesorado o las personas adultas, y por otra al de los alumnos y alumnas, sobre todo en la escuela elemental. A su juicio, el único modo de que los alumnos aprendan matemáticas es que reconstruyan los conceptos básicos de la matemática de un modo significativo. Desde esta perspectiva se trataría de proporcionar contextos adecuados para que se produzca esa “matematización”, algo que supone alejarse de una perspectiva que considera los conceptos de la matemática como algo ya hecho.

En la línea que acabamos de señalar, algunas investigaciones llamadas “constructivistas” suponen como principio fundamental de la adquisición del conocimiento en matemáticas que éste se elabora sobre la base de algo existente. No se trata de que las alumnas y los alumnos vayan adquiriendo piezas como algo definitivamente dado ni tampoco de abrir sus ojos a realidades absolutas. De acuerdo con Von-Glaserfeld (1987), los conceptos matemáticos han de ser construidos individualmente tomando como base las propias concepciones del alumnado y su conocimiento previo. En ese proceso de construcción desempeñan un papel importante los conflictos cognitivos que, como hace ya mucho tiempo señaló Piaget (1974), son necesarios para la creación de desequilibrios, uno de los mecanismos más importantes en la construcción cognitiva. Referido todo ello al terreno de la enseñanza y aprendizaje de la matemática se advierte pronto la importancia que, desde este enfoque, va a tener el error . Muchas veces los alumnos y las alumnas siguen reglas erróneas, que no son siempre fáciles de captar para la persona adulta que colabora en la resolución de los problemas matemáticos o enseña a lograr la solución; es importante tener en cuenta que las respuestas correctas pueden ser logradas a partir de estas reglas, y para ello son necesarios procesos de comunicación.

“La educación matemática debe centrarse en el desarrollo del “poder matemático”, lo que significa el desarrollo de habilidades relacionadas con los siguientes aspectos: la comprensión de conceptos y métodos matemáticos, el descubrimiento de relaciones matemáticas, el razonamiento lógico y la aplicación de concepto, métodos y relaciones matemáticas para resolver una variedad de problemas no rutinarios” (Schoenfeld, 1989, p. 86).

Resulta difícil negar las afirmaciones que hace Schoenfeld en el texto anterior pero lo que parece más complejo es delimitar los caminos concretos a través de los cuales esa meta puede lograrse. Es decir, el problema es cómo hacer posible que en las aulas esté presente el descubrimiento del razonamiento matemático, sobre todo si tenemos en cuenta que no existe sólo una forma de pensar matemáticamente, algo que se comprende mejor si se consideran algunos estudios que han revisado el modo en que la  matemática está presente en la vida cotidiana. A esta cuestión nos referiremos a continuación.

Distintos trabajos han explorado el contraste entre el modo en que se aprende y enseña la matemática en situaciones cotidianas y escolares. Podemos destacar, por ejemplo, un estudio pionero en el tema, realizado por Silvia Scribner (1984) en el que se exploran las actividades que deben poner en práctica los trabajadores de una planta lechera industrial en un entorno urbano, más concretamente, cómo las operaciones matemáticas están presentes en los procesos de almacenamiento, distribución, recuento o cálculos sobre las existencias, etc. Este trabajo mostró que estos conocimientos matemáticos tienen poco que ver con lo que se aprende en la escuela. Profundizando en el mismo tema Terezina Nunes y colaboradores (Nunes, 1995; Nunes y Bryant, 1996; Nunes, Schliemann, y Carraher, 1993) han profundizado en las diferencias que se producen en las estrategias de conocimiento utilizadas por las mismas personas cuando se enfrentan a problemas matemáticos similares en contextos distintos. Es interesante leer en detalle la distinción que estos investigadores establecen entre esos contextos diferentes a los que se refieren como formales e informales, teniendo en cuenta que en ambos se aprenden a resolver problemas matemáticos:

“En la escuela tiene lugar una gran cantidad de práctica, ello permite a los estudiantes aplicar lo que se les ha enseñado con el fin de resolver problemas diseñados para aplicar el conocimiento que supuestamente se transmite con la ayuda de símbolos matemáticos escritos. Los resultados de los cálculos realizados en la escuela no son utilizados en ese momento, aunque si simulados “como si” los contextos estuvieran realmente presentes. Generalmente, la práctica tiende a ser vista como un fin en sí misma o como medio para facilitar la adquisición de destrezas y conocimientos relacionados con el curriculum. Por el contrario, en las actividades “semi-expertas” que se encuentran fuera de la escuela, la matemática tiende a ser usada como un instrumento para lograr otras metas, por ejemplo, vender o medir (...). La enseñanza sistemática y explícita de conceptos, símbolos o procedimientos matemáticos parece ser poco habitual en la mayor parte de los contextos ajenos a la escuela” (Schliemann y Carrether, 1992, p. 48).

Lo que vienen a decirnos Ana Lucia Schlieman y David Carrether es que una de las metas más importantes de las situaciones escolares es reforzar la práctica para asegurar la adquisición de conocimientos que, supuestamente, se transmiten con ayuda de símbolos. Sin embargo, en la vida cotidiana la matemática, cuando se utiliza, suele ser un instrumento para lograr otras metas. Sobra casi decir que al atribuir al conocimiento matemático, presente en la vida diaria, un valor funcional se excluyen otras de sus características.

En suma, todo esto nos sugiere que la escuela deberá combinar diversas aproximaciones al pensamiento matemático, tratando de unir, por una parte, las peculiaridades de esta forma de conocimiento que caracterizan el trabajo de los profesionales en este campo y, por otro lado, su valor funcional fuera de las aulas. Veremos ahora un ejemplo concreto de la enseñanza de la matemática que tiene lugar en el hogar cuando una niña logra resolver un problema trabajando con su hermano. El diálogo que se produce entre ambos muestra, más concretamente, las posibles dificultades que pueden surgir cuando se trata de combinar los dos aspectos citados. Nos referiremos antes, muy brevemente, a la importancia que puede tener en este contexto la colaboración entre iguales, incluso cuando uno de ellos puede considerarse experto. El concepto de Zona de Desarrollo Próximo, bien conocido por quienes se han interesado en la obra de Vygotsky (Cole, 1985; Newman, Griffin, y Cole, 1989; Rogoff y Wertsch, 1984; Wertsch, 1984) , tiene ahora especial interés. No vamos a detenernos en él pero señalaremos tres aspectos que, derivados de ese concepto, ayudan a interpretar los procesos de aprendizaje al que acabamos de aludir y que tiene lugar cuando una niña de cuarto curso de E.G.B. interactúa con su hermano resolviendo un problema de matemáticas.

1) Debemos fijarnos en cómo las dos personas deben ir, progresivamente, construyendo una representación conjunta del problema que han de resolver. Si bien en un principio los participantes no definen la tarea de la misma manera, dicha definición se va aproximando en el curso de la interacción.

 2) Ambos participantes desempeñan un papel activo. Así, el niño que en este caso actuará como enseñante aporta sus propias habilidades y adopta una particular responsabilidad segmentando la tarea y presentándola de forma que ayude a su hermana a resolver el problema. Ella, por su parte, irá planteando dificultades que obligan al niño a reajustar sus estrategias de enseñante.

3). La interacción está organizada de forma funcional y dinámica, orientada a la resolución del problema. En esta organización podemos prestar especial atención a la definición de la tarea y a las actividades que progresivamente se van introduciendo para lograr la meta.

En suma, en este caso el aprendizaje de la matemática puede considerarse en el marco de un proceso de interacción en el que se produce un proceso de apropiación que tiene lugar a través de la colaboración de quien aprende con otras personas que, al menos en un primer momento, adquieren la responsabilidad ante las tareas.

Buscando el camino para resolver un problema

La tarea en la que trabajan Patricia y su hermano es una de los que habitualmente aparecen en los libros de ejercicios de matemáticas. Es representativa, quizás, de lo que algunos profesores y profesoras en las escuelas más tradicionales pueden considerar un buen camino para favorecer el aprendizaje de esta disciplina. El enunciado del problema, tal como aparecía en el libro de texto, y la solución laboriosamente construida es la siguiente:

Figura 1. Resolver problemas en el cuaderno de ejercicios

El problema de Patricia

Al comentar el proceso de interacción que tiene lugar en el hogar nos detendremos tanto en las situación interjectiva que se produce, y a la que acabamos de aludir, como en los procesos de enseñanza y aprendizaje relacionados con estos contenidos. Nos gustaría mostrar, además, que ambos son difícilmente separables. Observaremos también, del mismo modo en que podría mostrarlo una radiografía, muchas de las dificultades de aprendizaje con las que se encuentran los más pequeños, y también problemas de enseñanza a los que se enfrentan las personas mayores.

Planteamiento materno del problema: aproximación al concepto principal

Veamos ahora como madre e hija se acercan al problema. Incluso recordando nuestra propia experiencia en situaciones similares es fácil darse cuenta de que estamos ante una aproximación bastante habitual que se compone de dos pasos, primero, la lectura del problema y, segundo, tratar de descubrir “aquel concepto clave” que nos permitirá a resolverlo. Más concretamente tres aspectos han llamado nuestra atención: a) la madre busca ese “concepto clave” al que acabamos de aludir y que en este caso, es el de “un tercio”, si bien la persona adulta lo define como la tercera parte de algo, la niña no parece comprenderlo y ello le conduce a errores que la madre no sabe aprovechar para orientar su proceso de comprensión; b) las estrategias maternas se orientan a buscar la solución correcta, de acuerdo con su propia representación adulta del problema; c) existe una relación de relativa asimetría entre madre e hija que quizás deja poco lugar a una participación activa por parte de la pequeña. Pero veámoslo en la conversación.

Casi inmediatamente después, sin prestar atención al error de su hija, la madre tratará de imponer su modelo dando ocasión a mayores dificultades todavía y, en ningún momento, facilitará el razonamiento infantil. Cada una parece haber construido su propio modelo de la tarea, es decir, de la solución y del camino que pueden recorrer para lograrla. La niña, si bien parece entender el significado del concepto de forma nominal,  confunde unas cifras con otras y no sabe realmente cuál es la cantidad total de la que debe obtenerse “un tercio”,

La madre quiere reorientar el problema, pero continúa sin fijarse en la representación que de él ha construido la niña, que incluso sugiere la estrategia del dibujo.

A partir de este momento se pierde una ocasión para que la madre utilice estrategias que, apoyadas en representaciones visuales o incluso en la manipulación, faciliten a la niña aplicar en una situación cotidiana el concepto de “un tercio”. Tanto la persona adulta como la niña se pierden en discusiones complejas, difícilmente comprensibles y pasan cinco o diez minutos en una conversación en la que se producen continuos bloqueos interrumpidos por una llamada telefónica a la madre. En este momento Patricia comienza a colaborar con su hermano.

La interacción de Patricia con su hermano

El diálogo que surge a partir de este momento es realmente distinto al anterior. A nuestro juicio el niño que ejerce el papel de enseñante es capaz de establecer relaciones entre el lenguaje abstracto de la matemática y el mundo físico. De este modo se facilita la comprensión de Patricia.

Veremos ahora cómo, si bien ha comenzado a utilizar una estrategia similar a la de su madre, es decir, definir el concepto central del problema, a saber, “qué es un tercio”, enseguida se introducen novedades.

Hasta ahora Carlos seguramente ha manejado un concepto escolar para definir que es un tercio: “uno partido por tres”. Al darse cuenta de que su hermana no lo entiende trata de ser más explícito pero las dificultades continúan. Podíamos evitar la transcripción que sigue y que, seguramente, generará una cierta angustia en el lector o lectora que la siga en detalle. Hemos preferido introducir algunas partes para mostrar cómo la matemática, ajena al contexto en el que se genera, puede convertirse de hecho en una de las disciplinas más difíciles del curriculum.

En la conversación anterior Carlos está utilizando, lo mismo que lo hacía su madre, estrategias propias de la escuela, un buen ejemplo de ello es la introducción de los “decimales”. La niña sigue sin comprenderlo. Será necesario que Carlos proponga un ejemplo, tomado de la vida cotidiana, aunque con marcado carácter escolar, para que las dificultades se vayan superando.

Patricia y su hermano acuden a la vida cotidiana

Carlos, al comprobar que su hermana encuentra importantes dificultades utiliza un sencillo ejemplo que, este caso, resulta más eficaz que cualquier explicación de las personas adultas. En lugar de hablar de dividir una botella de vino en tres partes, prefiere hablar de una manzana. Desde este momento la situación didáctica mejora notablemente, la pequeña comienza a comprender, al menos en esa situación.

El niño tratará ahora de que su hermana comprenda qué relación existe entre el ejemplo que manejan y la situación que aparece en el libro. Aunque Patricia parece ir comprendiendo, el problema es más difícil de lo que parece y vuelven a producirse algunas complicaciones. No es sencillo pasar de la vida cotidiana a los ejemplos y situaciones del libro.

 “Dividir” en la vida cotidiana: “repartir”

Viendo los problemas de su hermana, el niño volverá a la vida cotidiana y precisará, a su manera, que lo que matemáticamente llamamos división puede corresponder realmente a un reparto que supone haber partido algo previamente.

Una vez aclarado el ejemplo se volverá de nuevo al libro de texto y se reformula el problema. Ahora la representación de quien aprende y enseña parece converger.

Tal como hemos indicado no basta con repartir, es necesario partir.

Colaborar para descubrir la solución

Ya no se habla sólo de manzanas sino también de litros, se va a ir descubriendo el significado de la analogía.

Finalmente, Patricia y su hermano lograron descubrir la solución del problema.

Nos queda ahora reflexionar brevemente sobre la situación que acabamos de transcribir. Pensamos que Patricia y su hermano han trabajado en una zona de desarrollo próximo, que nos atreveríamos a llamar colectiva en cuanto que es inseparable de la interacción misma. Patricia aprende qué es dividir a la vez que su hermano va mejorando sus propias estrategias de enseñanza, de este modo el niño va haciendo explícito lo que él ya sabía si bien, a la vez, lo va reelaborando.

Pero entonces ...¿se aprende matemáticas haciendo los deberes?

Estamos casi seguras que quien nos haya seguido hasta aquí habrá comprendido, al menos, que no es fácil responder a la cuestión de si es posible aprender matemáticas haciendo los deberes. Son posibles, sin embargo, algunas precisiones.

Diremos, en primer lugar, que ese aprendizaje parece estar estrechamente unido a las situaciones de interacción que mantienen quienes aprenden y enseñan. En este sentido, parece difícil que los niños y niñas lleguen a pensar mtemáticamente cuando las personas adultas que dirigen su trabajo tienen simplemente una representación mecánica de las tareas. Por el contrario, cuando el proceso se presenta como una construcción conjunta de conocimiento es más fácil que llegue a producirse un aprendizaje significativo que, en ocasiones, aproxima la reflexión a lo que algunos autores han considerado “la verdadera naturaleza del conocimiento matemático”.

En segundo lugar, debemos reconocer que los deberes relacionados con la matemática contribuyen, quizás más que otros, a crear en el hogar situaciones escolares que alejan el pensamiento matemático de la vida cotidiana. A nuestro juicio un cambio de dirección orientado a tender puentes entre la escuela y el hogar exigirá que niños y niñas lleven a casa otro tipo de tareas y que, además, las familias conozcan y sean conscientes de que le maestro o la maestra pretenden establecer esos puentes.

Diremos, en tercer lugar, que cuando dos personas trabajan en la zona de desarrollo próximo hemos de entender que dos mentes colaboran en el la resolución de un problema. En este caso hemos encontrado dos situaciones que ahora posible comparar, la relación de Patricia con su mare y, posteriormente con su hermano. Nuestros datos revelan, en ocasiones, la interacción con los iguales hace más fácil la construcción conjunta del conocimiento, quizás, porque las representaciones de quienes interactúan están mucho mas próximas entre sí. En otros trabajos hemos encontrado situaciones similares (Lacasa, Pardo, Herranz-Ybarra, y Martín, 1995).

Decíamos anteriormente que la interacción en la zona de desarrollo próximo supone que la colaboración está orientada a la adquisición de nuevas habilidades. Es importante notar, en este sentido, que es el niño y no madre quien da el salto del pensamiento abstracto a la realidad cotidiana. La persona adulta se queda únicamente en el nivel del pensamiento abstracto. Nos gustaría pensar, en definitiva, que una forma de pensar matemática está más presente en la interacción con el hermano.

Destacaremos, por último, que las situaciones sociales en las que niños y niñas hacen sus deberes son inseparables de los procesos de conocimiento que se actualizan en ellas y las matemáticas no son una excepción.

Referencias

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