INDUCCIÓN MATEMÁTICA

1. Si n es un número natural, demuestre por inducción la veracidad o falsedad de:

a) (32n - 1) es divisible por 8.

b) 1 + 2 + 3 + · · · · · · · + n =

c) 1 + 4 + 7 + · · · · · · · + (3n - 2) =

d) (n3 - n) es divisible por 3.

e) 13 + 23 + 33 + · · · · · · · + n3 =

f) (1 + 2 + 3 + · · · · · · · + n)3 = 13 + 23 + 33 + · · · · · · · + n3

g) 2 + 22 + 23 + · · · · · · · + 2n = 2(2n - 1)

h) 13 + 33 + 53 + · · · · · · · + (2n - 1)3 = n2(2n2 - 1)

i) (6n + 1 + 4) es divisible por 5.

j) 5n - 2n es divisible por 3.

k) xn - yn es divisible por x - y

l) Si n es un número natural impar, entonces n(n - 1) es divisible por 24.

m)

2. Probar cada una de las proposiciones siguientes, usando inducción matemática

a) n < 2n  para todo n>0

b) n3 + 2n es divisible por 3.

c) n2 + 2 es divisible por 2

d) n(n + 1)(n + 2) es divisible por 3

e) n3 + 5n es divisible por 3.

f) a2n - b2n  es divisible por a + b con a, b € Z  y  a + b   0

g) xn - yn  es divisible por x + y

h) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · · · · · · ·  + (2n - 1) = n2

i) 2 + 7 + 12 + · · · · · · · + (5n - 3) =

j)

k) 3n > 2n + 1

l) 2n < 2n