INDUCCIÓN MATEMÁTICA

1. Si n es un número natural, demuestre por inducción la veracidad o falsedad de:

a) (32n - 1) es divisible por 8.
b) 1 + 2 + 3 + · · · · · · · + n =
c) 1 + 4 + 7 + · · · · · · · + (3n - 2) =
d) (n3 - n) es divisible por 3.
e) 13 + 23 + 33 + · · · · · · · + n3 =
f) (1 + 2 + 3 + · · · · · · · + n)3 = 13 + 23 + 33 + · · · · · · · + n3
g) 2 + 22 + 23 + · · · · · · · + 2n = 2(2n - 1)
h) 13 + 33 + 53 + · · · · · · · + (2n - 1)3 = n2(2n2 - 1)
i) (6n + 1 + 4) es divisible por 5.
j) 5n - 2n es divisible por 3.
k) xn - yn es divisible por x - y
l) Si n es un número natural impar, entonces n(n - 1) es divisible por 24.
m)

2. Probar cada una de las proposiciones siguientes, usando inducción matemática

a) n < 2n  para todo n>0
b) n3 + 2n es divisible por 3.
c) n2 + 2 es divisible por 2
d) n(n + 1)(n + 2) es divisible por 3
e) n3 + 5n es divisible por 3.
f) a2n - b2n  es divisible por a + b con a, b € Z  y  a + b   0
g) xn - yn  es divisible por x + y
h) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · · · · · · ·  + (2n - 1) = n2
i) 2 + 7 + 12 + · · · · · · · + (5n - 3) =
j)
k) 3n > 2n + 1
l) 2n < 2n