MÉTODO DE RUFFINI-HÖRNER.

 

Un método muy eficaz para resolver ecuaciones de tercer grado o mayor, es el método por descomposición de Ruffini-Hörner. Este método lo que hace es descomponer un polinomio algebraico de grado n, en un binomio algebraico y en otro polinomio algebraico de grado (n - 1). Para ello es necesario conocer al menos una de las raíces del polinomio original, si es que se quiere que la descomposición sea exacta, de lo contrario el método que les presentaré entrega el resto de la descomposición.


Veamos el método a través de algunos ejemplos:


Por ejemplo se tiene el polinomio algebraico x3 + 2x2 + x – 4 y lo queremos dividir por x – 1
Primero se escriben los coeficientes del polinomio original en línea:
1 2 1 -4
luego el primer coeficiente se baja sin hacerle nada:
1 2 1 -4
____________________
1
enseguida consideramos el acompañante de x con signo contrario (en este caso 1) y lo multiplicamos por el número que quedó abajo. El resultado de la multiplicación lo ponemos debajo del coeficiente que sigue y se lo sumamos:
1 2 1 -4
1 1

1 3
finalmente repetimos este último paso (con lo coeficientes siguientes) hasta que ya no queden coeficientes:
1 2 1 -4
1 1 3 4
____________________
1 3 4 0
Los números que aparecen en la última fila son los coeficientes del nuevo polinomio algebraico de grado (n – 1). El último número es el resto de la división. En este caso es 0, por lo tanto la división es exacta.
Nos queda: x3 + 2x2 + x – 4 = (x – 1) (x2 + 3x + 4)
Veamos otros ejemplos:

1) Dividir el polinomio x3 – 6x + 1 por x + 2
En este caso no está el término x2 por lo tanto su coeficiente es 0. El factor multiplicador (acompañante de x) es –2.
Aplicando Ruffini-Hörner:
1 0 -6 1
-2 -2 4 4
___________________
1 -2 -2 5
El resto es diferente de 0 (5), lo que significa que no es una división exacta. Nos queda:
x3 – 6x + 1 = (x + 2) (x2 – 2x – 2) + 5
Obsérvese que el resto se suma al producto de los factores.

2) Dividir el polinomio x4 + 2x3 + 6x2 + 11x + 6 por x + 1
El factor multiplicador es –1.
Aplicando Ruffini-Hörner:
1 2 6 11 6
-1 -1 -1 -5 -6
__________________________
1 1 5 6 0
El resto es 0, por lo tanto la división es exacta. Nos queda:
x4 + 2x3 + 6x2 + 11x + 6 = (x + 1) (x3 + x2 + 5x + 6)

3) Resolver la ecuación x3 – 3x2 + 12x – 10 = 0
Nos damos cuenta que x = 1 es solución de la ecuación. Entonces (x – 1) es divisor del polinomio de la izquierda de la ecuación.
Aplicamos Ruffini-Hörner:
1 -3 12 -10
1 1 -2 10
____________________
1 -2 10 0
La ecuación queda:
(x – 1) (x2 – 2x + 10) = 0
x – 1 = 0 v x2 – 2x + 10 = 0
De la primera ecuación resulta: x = 1
De la segunda resultan: x = 1 + 3i y x = 1 – 3i
Esta ecuación tenía dos soluciones imaginarias y una real.

4) Resolver la ecuación x4 + 6x3 + 3x2 – 26x –24 = 0
Nos damos cuenta que x = 2 es solución de la ecuación. Entonces (x – 2) es divisor del polinomio de la izquierda de la ecuación.
Aplicamos Ruffini-Hörner:
1 6 3 -26 -24
2 2 16 38 24
__________________________
1 8 19 12 0
La ecuación queda:
(x – 2) (x3 + 8x2 + 19x + 12) = 0
x – 2 = 0 v x3 + 8x2 + 19x + 12 = 0
Ahora nos fijamos que x = -3 es solución de la segunda ecuación. Aplicamos Ruffini-Hörner a la segunda ecuación:
1 8 19 12
-3 -3 -15 -12
_____________________
1 5 4 0
La ecuación original queda:
(x – 2) (x + 3) (x2 + 5x + 4) = 0
x – 2 = 0 v x + 3 = 0 v x2 + 5x + 4 = 0
De la primera ecuación resulta: x = 2
De la segunda ecuación resulta: x = -3
De la tercera resultan: x = -4 y x = -1
Esta ecuación tenía cuatro soluciones reales.

El método por descomposición de Ruffini-Hörner es bastante útil y fácil de aplicar. La desventaja que tiene este método es que para aplicarlo hay que encontrar al menos una de las soluciones de la ecuación, lo cual a veces se torna muy difícil. Pero si se encuentra esa solución, el problema se simplifica enormemente. Aunque existe el método de Tartaglia-Cardáno es más recomendable usar éste, ya que el otro es demasiado complicado.