Teorema del Seno

El profe, después de anotar en la pizarra el título de este nuevo tema, a los 15 segundos de haber entrado en la sala, (nuevo record), nos dijo: "en un triángulo cualquiera los lados son entre sí como los senos de los ángulos opuestos". Comentario general: ¡se voló!. Luego nos mostró el siguiente recuadro:

a : b : c = sen a : sen b : sen g

que también se puede expresar como:

y nos habló dulce y amablemente: ¡¡Demuéstrenlo!! (buena la talla), pero como Juan Segura vivió muchos años y aprobó muchos electivos, decidimos hacerle empeño y la cosa finalmente salió así:

Dibujamos un triángulo ABC cualquiera y, para formar triángulos rectángulos, trazamos las alturas h_c y h_b.

En el triángulo ACD obtenemos que y en el triángulo BCD que , haciendo la razón entre ambas expresiones resulta:

Luego , o lo que es lo mismo:    (1)

Trabajemos ahora en el triángulo ABE:

y en el triángulo CEB:

haciendo la razón entre ambos senos obtenemos:

Luego , que es equivalente a      (2)

De las expresiones (1) y (2) obtenemos que:

queda entonces demostrado. ¡uf!