TEOREMA DEL COSENO (Teorema General de Pitágoras)

 

De inmediato nos comentó de un nuevo teorema (Pesadilla II), diciendo: "En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman".

Quedamos claritos (¿?). Osea utilizando la siguiente figura con sus elementos queda algo así:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

b2 = a2 + c2 - 2ac cos b

c2 = a2 + b2 - 2ac cos g

Y la orden que no se hizo esperar: Demuestren que lo que les dije es verdad. (Plop!)

A mover nuevamente nuestras neuronas.

Comenzamos trazando la altura hc del triángulo ABC dado y designamos por p y q los segmentos formados por esta altura.

Si observamos bien, en el triángulo DBC obtenemos, por Pitágoras, obviamente, que:

hc2 + p2 = a2  o sea:

hc2 = a2 - p2

mientras que el triángulo ADC determinamos que:

hc2 + q2 = b2  o sea:

hc2 = b2 - q2

Estos pasos nos llevan a la conclusión que a2 - p2 = b2 - q2 lo que implica que

a2 = b2 - q2 + p2

pero p = c - q, lo que al reemplazar en la expresión anterior permite obtener que:

a2 = b2 - q2 + (c - q)2 , desarrollando resulta a2 = b2 - q2 + c2 - 2cq + q2 , simplificando:

 a2 = b2 + c2 - 2cq , pero cos a = q/b de donde q = b cos a.

Luego  a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

Las otras demostraciones te las dejamos de tarea, como venganza (je, je , je risa macabra) por todo lo que tuvimos que sufrir para demostrar lo anterior.

Vamos a un ejemplo:

Determinemos la longitud de c en el triángulo ABC de la figura:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos g

c2 =

c2 = 8

c =

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