Funciones trigonométricas de ángulos especiales

 

El calentador está apagado. La sala múltiple (salón de actos, comedor, sala de electivo, explayación de artistas, etc) está helada. En un intento de encontrar calor, buscamos nuestra típica mesa redonda apretujándonos como unos pobres pollos condenados a una nueva clase de electivo. Afuera la nieve caía silenciosamente, mientras cada uno meditaba sobre cuál sería su reacción al recibir su primera nota en trigonometría.

En medio de la "calidez" descrita apareció Danny señalando que trabajaríamos con algunas de las funciones trigonométricas de mayor uso, siendos estas las de 30º, 45º y 60º. De las pruebas no se pronunció, a pesar de ser de los profes que aplica una prueba y las entrega siempre a la clase siguiente, pero nadie comentó nada, total "ojos que no ven, corazón que no siente"

Para iniciar nuestra labor, el profe nos pidió que determináramos las funciones trigonométricas de 30º y 60º y que utilizáramos para ello un triángulo equilátero de lado 2 unidades. (Después descubrimos de que con cualquier medida da lo mismo).

Empecemos

Después de un breve análisis de 20 minutos, nos dimos cuenta de que debíamos trazar una de las alturas del triángulo para formar así un ángulo de 30º y un triángulo rectángulo necesario para nuestro trabajo.

La figura quedó así:

En el triángulo ADC, calculamos la altura CD por Pitágoras, obteniendose cm. Luego

sen 30º = = cos 60º; ya que sen a = cos(90 - a)

cos 30º = = sen 60º

tg 30º = (al racionalizar) = cot 60º

cot 30º = = tg 60º

sec 30º = = cosec 60º

cosec 30º = 2 = sec 60º

Y ahora, dijo el profe, ¿qué tipo de triángulo debemos utilizar para obtener las funciones trigonométricas de 45º?

Nuevamente nuestros cerebros comenzaron a mover sus multiples engranajes y parece que ya están bien engrasados porque pudimos dar rápido con la respuesta.

Para determinar las funciones trigonométricas de 45º, el triángulo a utilizar debe ser un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 cm (o cualquier otra medida).

Obtegamos primero la hipotenusa, por Pitágoras, y luego calculemos las funciones trigonométricas pedidas.

sen 45º = = cos 45º

tg 45º = 1 = cot 45º

sec 45º = = cosec 45º

Obviamente Danny nos pidió que "por favor" aprediéramos estos valores, pero que mucho más importante era que no olvidáramos cómo fueron obtenidos.

Ejercitemos:

Calculemos las siguientes expresiones trigonométricas

a)   (Respuesta: -3 - )

b) (sec 30º + sen 60º)2  ( Respuesta: 49/12)

c)

 

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