Unidad: Ecuación de la recta y otras funciones

 

Objetivos

1.      Analizar situaciones y/o fenómenos que se pueden modelar utilizando la función lineal; establecer la dependencia entre las variables y expresarla gráfica y algebraicamente.

2.       Identificar e interpretar parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las coordenadas en la forma y = mx + n de la ecuación de la recta. Reconocer estos parámetros en las respectivas gráficas.

Contenidos

1.       Función lineal

2.       Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad.

3.       Uso del programa computacional Excel para la manipulación algebraica y gráfica.

Actividad

Estudiar y graficar diversas expresiones de la forma y = mx + n; considerar valores para m que sean enteros, fraccionarios y decimales; mayores y menores que cero; analizar casos con n = 0 y con  n ¹ 0; establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo, la perpendicularidad, las rectas paralelas a los ejes, la recta que pasa por el origen y los puntos de intersección de la recta con los ejes.

1.      Hacer la tabla de valores, graficar y analizar la relación entre las expresiones algebraicas y gráficas de diversas rectas. Descubrir y expresar las condiciones relativas al paralelismo, perpendicularidad e intersecciones con los ejes.

a)       Graficar en un mismo sistema de coordenadas,

y = x + 4,

y = 2x + 4,

y = -x + 4,

y =-2 x + 4

¿Qué puedes concluir en relación con estos gráficos?

b)       Graficar en un mismo sistema de coordenadas,

y = -3,5

x = 1

x = -5,5

  ¿Qué puedes concluir en relación con estos gráficos?

c)       Graficar en un mismo sistema de coordenadas,

x + 2y = 6

y = - x/2

2x + 4y =-5

x + 2y = 2

  ¿Qué puedes concluir en relación con estos gráficos?

d)       Graficar en un mismo sistema de coordenadas,

y = -3x +2

y = x/3 – 5

3x+ y = 0

x - 3y = 4

  ¿Qué puedes concluir en relación con estos gráficos?

Lo que puede aprender en el desarrollo de esta actividad podrá usarse para trabajar otros contenidos de esta unidad como : función valor absoluto, la función parte entera. Además del trabajo con funciones cuadráticas y trigonométricas

En un mapa se puede mostrar el concepto de recta, paralelismo y perpendicular, cuando se pide orientaciones de cómo llegar a una dirección de utiliza el concepto de la calle “paralela a”, la calle “perpendicular a “

Esta actividad permite desarrollar los OFT. En el área de ámbito y crecimiento y autoformación personal capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y relacionar la información relevante, en el área,  del ámbito desarrollo del pensamiento: habilidades de resolución de problemas y de pensamiento lógico; y a habilidades de generalización y de modelización a partir de relaciones observadas, en el ámbito persona y su entorno trabajo en equipo.

Versión 1

Recursos

Un programa para desarrollar esta actividad es el Graficador software Graficador contenido en el CD-Recursos Educativos 1999, si desea apoyar la imagen grafica por una tabla de valores deberá hacer uso de la hoja de cálculo. Para ver más detalles del uso de este software consulte el anexo: “El Graficador”

Acciones

1.       Ingrese al software “El Graficador”

A continuación se graficará funciones de primer grado. Sea  y = 2x, Construya la grafica de la función, para esto:

        Hacer un clic en el botón “Funciones de 1er grado

        Llenar los recuadros correspondientes a los coeficientes  

        Luego, seleccione un color de tiza con un clic.

Muy bien ya debes tener en pantalla la grafica de la función. Tal como se muestra en la figura siguiente.

 

 

Posiciónese en los puntos en que los valores de x indicados en la tabla se intersectan con la gráfica. Observa que deben coincidir con los valores que tu obtuviste al evaluar la función y=2x.

2.       Graficar en un mismo sistema de coordenadas, las funciones que se indican, para ello basta que sigas el mismo procedimiento anterior para cada función, puedes modificar el color

 

a) y = x + 4,

b) y = -x + 4,

 

       Esta es una gráfica de pendiente 1 y constante4, la segunda tiene pendiente –1 y constante 4

        Cambia de color. Y ahora grafica las funciones

 

a) y = 2x + 4,

b) y =-2 x + 4

 

        Este es el gráfico que deberías obtener.

         ¿Qué podrías concluir, en relación al gráfico de funciones (ax+b y –ax+b) es decir de pendientes opuestas y constantes?

Las rectas de pendientes opuestas e  igual valor constantes son simétricas

         Compruébalo con otros ejemplos creados por usted.

3.       Graficar en un mismo sistema de coordenadas, las funciones que se indican. Estas rectas tiene la forma y=mx+n, con m=0.

 

a) y = -3,5

b) y = 1

c) y = -5,5

 

 

·        Si observas para en cualquier punto de x, el valor de y en cualquiera de las funciones es el mismo.

 

·         Luego se puede deducir que cuando m=0 es decir la pendiente es 0, la función es CONSTANTE

 

4.       Graficar en un mismo sistema de coordenadas, las funciones que se indican.

a) y = -x/2

b) x+2y =6

c) 2x+4y = -5

d) x+2y = 2

·         Se deberías obtener este gráfico:

 

 

·        ¿Qué podrías concluir, en relación al gráfico de funciones de igual pendiente, como son paralelas o perpendiculares?

Las funciones que tienen pendientes similares  sus gráficas corresponden a rectas paralelas.

·         Crear otras funciones y graficalas para comprobarlo

5.       Graficar en un mismo sistema de coordenadas, las funciones que se indican.

a) y = -3x +2

b) y = x/3 – 5

·        Cambia de color y gráfica las funciones

c) 3x+ y = 0

d) x - 3y = 4

·        Esto es lo que deberías obtener:

 

 

·         Observa que en las dos primeras funciones las primeras funciones tiene pendientes -3 y 1/3, el producto de ambas es –1. En las segundas funciones ocurre lo mismo.

         ¿Qué podrías concluir, en relación al gráfico de funciones cuyo producto de la pendientes es -1?

Las funciones cuya producto de pendientes es –1 sus gráficas corresponden a rectas perpendiculares.

         Crear otras funciones que cumplan estas condiciones y grafícalas para comprobarlo

Evaluación

1.       Construya ejemplos de funciones paralelas

 

a ) ____________________________  b)________________________________

 

·         Grafique ambas funciones para comprobar que realmente son paralelas

 

2.       Construya ejemplos de funciones perpendiculares

 

a ) ____________________________  b)________________________________

 

·         Grafique ambas funciones para comprobar que realmente son paralelas.

 

Versión 2

Recursos

        Microsoft Excel.

          Anexo.

Acciones

1.       Dadas las funciones:

y = x + 4,

y = 2x + 4,

y = -x + 4,

y =-2 x + 4

 

·        Llévalas a expresiones de la forma y = mx + n, así le será más fácil establecer algunas relaciones específicas.

 

2.       Abra una nueva hoja de trabajo en Excel y cree allí una tabla de valores, como la que se muestra a continuación, que le permita graficar dichas expresiones. En este caso tomaremos valores para x entre –8 y 8. (Ver anexo)

 

Para ello:

  •          Ingrese las expresiones señaladas en las celdas A1..E1

  •          Al ingresar las formulas simplemente tipee la expresión: por ejemplo en B2 escriba x+4, luego copie esta formula par el resto del rango B3..B18.

  •          Repita el proceso anterior para el resto de las expresiones.

Este mecanismo le permitirá definir formulas dependientes de variables, por lo cual podrá definir otras funciones como pro ejemplo: otras funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones trigonométricas, etc.

3.       Para crear el gráfico, seleccione el rango que contiene la tabla (A1: E14) y luego utilice el Asistente para gráficos. Utilice un gráfico tipo XY (Dispersión) con puntos de datos conectados por líneas sin marcadores de datos. (Ver anexo)

·         Observando el gráfico podrá confirmar fácilmente, que:

       Las rectas y1 e y2 tienen pendiente positiva y que las rectas y3 e y4 tienen pendiente negativa.

       Las rectas y1 e y3 son perpendiculares porque tienen igual inclinación, pero sus pendientes son opuestas. Lo mismo ocurre con y2 e y4.

       Las cuatro rectas interceptan al eje y en el 4, que es el valor de n en las cuatro expresiones.

Evaluación

Realice la parte (a), (b) y (c) de la actividad anterior, estableciendo las relaciones que se dan en cada gráfico.

Principal > Informática > Ecuación de la recta