Unidad: Funciones

 

i.  Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones:

y = x2

y = x2 ± a,  a > 0

y = (x ± a)2,  a > 0

y = ax2 + bx + c

 

ii.  Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje X

 

Actividad Propuesta

En esta actividad se espera que los alumnos puedan graficar la parábola y analizar sus propiedades fundamentales: convexidad, vértice, eje de simetría e interceptos con los ejes con el software graficador shareware bajado de Internet EQUATION GRAPHER.

Esta actividad permite desarrollar los OFT. En el área de ámbito y crecimiento y autoformación personal capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y relacionar la información relevante, en el área,  del ámbito desarrollo del pensamiento: habilidades de investigación;  habilidades de resolución de problemas y de pensamiento lógico; y a habilidades de generalización y de modelización a partir de relaciones observadas; las habilidades comunicativas, que se vinculan con la capacidad de exponer ideas; habilidades de análisis, interpretación y síntesis de información y en el área de ámbito persona y su entorno trabajo en equipo.

Recursos

·         Sala de computación con el software  EQUATION GRAPHER instalado en TODOS los computadores. La dirección en Internet de donde bajarlo es:

·         http://www.mfsoft.com/equationgrapher/

·         Guía impresa para cada alumno. (está más adelante)

·         Al menos una impresora (preferentemente de tinta) y papel suficiente para imprimir unas ocho hojas por computador.

 

Acciones

Iniciar la sesión formando grupos de dos o tres alumnos por computador. Ejecutar EQUATION GRAPHER y seguir las instrucciones

I.   INGRESO DE LA FUNCIÓN

1.                  Construye el gráfico de la función  y = x2 , llamada parábola, escribiendo:  x^2  en la línea de ingreso, como muestra la siguiente figura:

 

 

2.                  Luego presiona la tecla ENTER y tendrás tu gráfico.

3.                  Imprímelo haciendo clic en el menú File  (arriba a la izquierda) y luego en  Print Graph

II.   EJE DE SIMETRÍA Y VÉRTICE

1.       Observa cuidadosamente la gráfica de la parábola y verás que la función

a.       Es simétrica respecto del eje Y y su eje de simetría tiene ecuación x=0

b.       Tiene el vértice o el mínimo en el punto (0,0)

2.       La simetría se determina como una recta que hace las veces de espejo. En nuestro caso, el “espejo” o dicho matemáticamente “el eje de simetría” es la recta vertical x = 0 (o sea la recta que pasa por x =0). Aquí la señalamos:

 

Por lo tanto, diremos que la ecuación del eje de simetría de la parábola es:   x = a  ,  donde a es el valor del eje X por donde pasa este eje de simetría.

3.       Y el vértice o mínimo, ¿estará realmente en el punto (0,0) ?.

Haremos que el software lo determine. Haz un clic en el botón y luego abre un rectángulo con el mouse sobre la gráfica de la parábola encerrando al punto que suponemos es el vértice o mínimo. Así:

 

4.       Al soltar el botón del mouse aparecerá en la ventana Log (abajo a la izquierda) la siguiente  leyenda:  

 

 

 

Ahí aparecen nuestra función, el tipo de punto, mínimo en este caso, y las coordenadas del mismo, o sea:

Minimum: Ymin=0 for x=0 dice que el mínimo está en (0,0)

 

III.   ESTUDIO DE LA CONCAVIDAD

 

1.       Ahora estudiaremos la diferencia que existe con la función y = 2 x2 .  Escribe en la línea de ingreso   2x^2   y luego Enter. ¿En qué cambió la parábola?.  ¿Se  cerró?. Ahora grafica   3x^2,  4x^2   y   5x^2.  Al terminar debería quedar así ®     

 

 

2.       Es claro ver que cuando aumenta el coeficiente numérico de  x2  la parábola se va cerrando.  

3.       Escribe ahora en la línea de ingreso   0.8x^2,  0.5x^2,  0.3x^2,  0.1x^2  y   0.05x^2. ¿En qué cambió la parábola?.  ¿Se  abrió?. Al terminar debería quedar así ®.

 

 

También es claro ver que cuando el coeficiente numérico de  x2  va disminuyendo (sin llegar a ser negativo) la parábola se va abriendo.

 

4.       Para continuar deberemos eliminar algunas funciones. El software sólo permite graficar 12 simultáneamente.

 

Haz clic en el botón   y

 

aparecerá una ventana con todas las funciones actualmente graficadas. Mantén presionada la tecla CONTROL y haz clic en las funciones: 2x^2,  4x^2,  0.5x^2,  0.05x^2   y luego clic en el botón OK.

5.    Por último, escribe en la línea de ingreso    -3x^2,      -x^2,  -0.8x^2  y  -0.3x^2. ¿En qué cambió la parábola?.

 

Se comporta de la misma manera cuando el coeficiente numérico es positivo, sólo que las ramas apuntan hacia abajo.

 

    Al terminar debería quedar así ®

 

 

6.    Podemos concluir que la CONCAVIDAD de la parábola   y = ax2  es:

POSITIVA

  Si  a  es positiva

  NEGATIVA

Si a es negativa

IV.   ESTUDIO DE LA TRASLACIÓN

1.  Borra TODAS las funciones anteriores. (con el botón      ) y grafica las siguientes funciones:   x^2,  x^2 + 2,  x^2 + 4,  x^2 - 2,  y   x^2 - 4 . Debería quedar así:

 

 

 

 

 

 

 

2.         Claramente, la parábola   y = x2  + q:

  SUBE

Si  q  es positivo

  BAJA

  Si  q  es negativo

3.         Grafica ahora siguientes funciones:   (x-2)^2,  (x-4)^2,  (x+2)^2  y   (x+4)^2.. Debería quedar así:


4.         Es fácil ver que, la parábola   y = (x – p)2  se desplaza hacia la:

 

 DERECHA

Si  p  es positivo

  IZQUIERDA

  Si  p  es negativo

Nota: En la fórmula debe aparecer siempre –p. En el caso de la función  y = (x + 3)2 debe escribirse  y = (x – (-3))2 por lo que p tendría el valor –3.

5.         Si combinamos los tres casos (a,   p  y  q) tenemos que es posible graficar cualquier parábola usando la función:                                               

y = a(x - p)2  + q

  o su  expandida:

  y = ax2  + bx + c

            Ejemplos:

Valor de los parámetros

 

 

Función Resultante

 

Función Expandida

 

 a=1,   p=2,  q=3

 

 

y = (x - 2)2  + 3

 

y = x2  - 4x + 7

 

a= -2,  p=-4,  q= -1

 

 

y = -2 (x +4)2  - 1

 

 

y = -2 x2  - 16x - 33

 

a= 5,  p=1,  q= -2

 

 

y = 5 (x -1)2  - 2

 

 

y = 5x2  - 10x + 3

Las gráficas de los ejemplos se muestran aquí:

 

y = a(x - p)2  + q

 

 

 

y = ax2  + bx + c

 

 

7.       Como puedes ver son las mismas. Si determinamos los vértices o mínimos de las tres parábolas (de la misma manera que en II.3 y II.4) tendremos que:

 

FUNCIÓN

 

 

PARÁMETROS

 

VÉRTICE

 

EJE DE SIMETRÍA

 

Y = (x - 2)2  + 3

 

 a=1,   p=2,  q=3

 

 

( 2 , 3 ) = ( p , q )

 

x = p  o sea  x = 2

 

y = -2 (x +4)2  - 1

 

 

a= -2,  p=-4,  q= -1

 

 

( 4 , -1 ) = ( p , q )

 

x = p  o sea  x = -4

 

y = 5 (x -1)2  - 2

 

 

a= 5,  p=1,  q= -2

 

 

( 1 , -2 ) = ( p , q )

 

x = p  o sea  x = 1

8.       Por lo tanto si nuestra parábola está escrita de la forma    y = a(x - p)2  + q   su vértice estará en el punto de coordenada  ( p , q ). Si está en la forma expandida (o sea   y = ax2  + bx + c ), podemos hacer una equivalencia  para poder calcular su vértice donde:

p = -b / (2a)          y         q = (4ac – b2) / (4a)

EJEMPLO:

La función   y = -3x2  + 6x - 1    con    a = -3,  b = 6   y   c = -1    tiene su vértice en: 

 

p = -b / (2a) = -6 / (2·(-3)) = -6 / -6 = 1

 

 q = (4·(-3)·(-1) – 62) / (4·(-3)) = (12 – 36) / (-12) = -24 / -12 = 2

Por lo tanto el vértice de la parábola    y = -3x2  + 6x  1  es el punto    ( p , q ) = ( 1 , 2 )

 

V.   ESTUDIO DE LOS INTERCEPTOS

Borra todo y tomemos como función ejemplo a    y = x2    5x  +  6

INTERCEPTO CON EL EJE Y

 

1.         Grafica     y = x2    5x  +  6

 

 

 

 

 

 

2.       Encontraremos el punto donde la función corta al eje Y  con el software de manera similar a como encontramos el vértice.

 

Haz clic en el botón  y

luego encierra en un rectángulo la zona donde está el intercepto, así:

 

 

 

En la ventana Log (abajo a la izquierda)  aparecerá lo que buscamos. Así:

 

Indica que la intersección de la parábola con el eje Y está en el punto   y = -2.

 

 

CON EL EJE X

Usando la misma gráfica, hacemos clic en el botón  y encerramos en un rectángulo, nuevamente, primero el área en donde está un intercepto y luego encerramos el área donde está el otro. En la ventana  Log aparecerá:

 

 

 

o sea una raíz (root) o intercepto con el eje X está en x = -2  y la otra raíz o intercepto está en x = 1.

EJERCICIOS:   Para las siguientes funciones:

a.      y = -x2  - 1

b.      y = 0.2x2  - 3

c.       y = (x + 1)2

d.      y = (x + 1)2 + 2

Construye el gráfico y determina:

1.     Convexidad,

2.     Vértice

3.     Eje de simetría,

4.     Intercepto con el eje Y

5.     Intercepto con el eje X

Evaluación

1.                                   Usando el software, estudiar la parábola    y = 5x2  - 6x + 8   (gráfico, convexidad, vértice, eje de simetría interceptos con los ejes X e Y)

2.                                   Construye, con el software, una parábola que tenga su vértice en el punto ( -1 , -2 ) y sus ramas hacia abajo. Imprímela.

3.                                   Construye una parábola que tenga los interceptos con el eje X en   x = 3  y  x = 1. Imprímela.

4.                                   Determina la función y la gráfica de una parábola que tenga su eje de simetría en x = -1 y que su intercepto con el eje Y sea   y = 0. Imprímela.

5.                                   Determina la función y la gráfica de una parábola que tenga los su vértice en el punto    ( 3 , 4 ).

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