Suma y producto de números complejos

Dados dos números complejos a + bi  y c + di  se definen su suma y su producto como sigue:

                       (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

                       (a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i

El producto puede hacerse operando con i  como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i ² = -1.

              (a + bi )(c + di ) = ac + adi  + bci + bdi ² = ac + i(ad + bc) + bd(-1) =

                                     = ac - bd + i (ad + bc)

Propiedades de la suma de números complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + bi  y c + di  se tiene la igualdad:

                              (a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

                           (2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i

                           (-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i

· Asociativa

Dados tres complejos a + bi, c + di  y e + fi , se cumple:

                 [(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

        [(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i

        (5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

                      (a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i  se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi  es (- a - bi ):

                                  (a + bi  ) + (-a - bi) = 0 + 0i  = 0

Ejemplo:

                   El simétrico de 2 - 3i  es -2 + 3i  pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0

Propiedades del producto de complejos

· Conmutativa

Dados dos complejos a + bi  y c + di , se cumple que:

                                      (a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )

Ejemplo:

· Asociativa

Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:

                        [(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

Ejemplo:

· Elemento neutro

El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i  = 1, puesto que para cualquier complejo  a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi .

El elemento neutro es el uno.

· Distributiva del producto con respecto a la suma

Dados tres números complejos a + bi , c + di  y e + fi , se cumple:

                 (a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )

Ejemplo:

                 (1 - 2i ) [3i  + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i  - 4i  + 8i ² = -6 - 8i

                     (1 - 2i ) 3i  + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i  - 6i ²) + (2 - 7i  - 4i + 14i ²) =

                                          = (3i  + 6) + (-12 - 11i ) = - 6 - 8i

El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.

El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).

· Elemento simétrico respecto del producto

Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de 0 + 0i , existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i .

Demostración:

Se intentará calcular el inverso de a + bi , x + yi .

Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i

(a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)i .  Por tanto ha de ser:

          ax - by = 1, multiplicando por a se tiene:   a²x - aby = a

         bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene:  b²x + aby = 0

Despejando y en la segunda ecuación:

El inverso de un número complejo z = a + bi , se suele

Por tanto, si z = a + bi ,

El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.