Sucesiones divergentes

Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos infinito (+¥ ó ). Expresado de forma rigurosa:

 

·Una sucesión (an  ) tiene por límite +¥ ó diverge a +¥ si elegido un número k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no   tal que para cualquier

n ³ no  , an   > k.

 

Esto es equivalente a afirmar que para n ³ no  , an   está en el intervalo (k, +¥), es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera.

 

·Una sucesión (an  ) tiene por límite -¥ ó diverge a -¥ si elegido un número k tan

grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no   tal que para cualquier

n ³ no  , an   < -k.

 

Esto equivale a decir que para n ³ no  , an   pertenece al intervalo (-¥, -k).

 

Igual que en las sucesiones convergentes, para cada número k elegido, el subíndice no   será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará no   .

 

Sucesión oscilante

Una sucesión (an  ) se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente.

 

 

 

Ejercicio:

 Probar que la sucesión an   = 5n2 - 9 diverge a +¥.

 

Resolución:

 

·Se elige un número k tan grande como se desee. Por ejemplo k = 108.

 

·Hay que encontrar los valores de n para los cuales an >108, es decir, 5n2- 9 >108.

 

·En 5n2 - 9 > 108 se suma 9 a los dos miembros: 5n2 > 108 + 9 = 100 000 009.

 

 

 

A partir del término a4 473, an   > 108.

 

‚ ¿Tiene límite la sucesión an   = (-1)n  ·3?

 

Resolución:

 

· Los términos de esta sucesión son:

-3, 3,  -3,3,  -3,3, ...

 

·La sucesión an   = (-1)n  ·3 es oscilante.

 

· Se ha de probar que no tiene límite: los posibles límites son 3 y -3.

 

 

Si se toma e = 1, los términos impares a2n-1 = -3 no éstan en el intervalo

(I - e, I + e) = (2, 4). No se puede encontrar un n0  a partir del cual todos los términos están dentro del intervalo (2, 4).

 

 

Si se toma e = 1, los términos pares a2n  = 3 no se encuentran en (I - e, I + e) =

(-4, 2). No se puede encontrar un n0 a partir del cual todos los términos estén dentro del intervalo (-4, 2).

 

 

Por lo tanto la sucesión es oscilante.

 

Es fácil caer en la tentación de tomar el intervalo (-4,10) y pensar que puesto que todos los términos de la sucesión pertenecen a él, la sucesión debería tener límite.

Sin embargo, la definición de límite obliga a que elegido un e cualquiera todos, salvo una cantidad finita de términos, queden en el intervalo (I - e, I + e). Basta, pues, elegir un e para el que no se cumpla esta premisa y concluir que la sucesión no tiene límite.